Номер 14.13, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.13. Докажите, что из двух проекций наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, наклонная которой больше (рис. 14.7).

Рис. 14.7

Доказательство:

Пусть из точки А, не лежащей на прямой a, проведены перпендикуляр AB и две наклонные AC и AD к этой прямой. Точки C, D, B лежат на прямой a. Отрезки CB и DB являются проекциями наклонных AC и AD на прямую a соответственно.

Нам нужно доказать, что если одна наклонная больше другой (например, $AC > AD$), то и ее проекция больше проекции другой наклонной ($CB > DB$).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: `△ABC` и `△ABD`. Они оба прямоугольные, так как AB — перпендикуляр к прямой a, следовательно, $∠ABC = 90°$ и $∠ABD = 90°$.

Применим теорему Пифагора для каждого из этих треугольников:

1. В `△ABC` катетами являются AB и CB, а гипотенузой — AC. Следовательно: $AC^2 = AB^2 + CB^2$.

2. В `△ABD` катетами являются AB и DB, а гипотенузой — AD. Следовательно: $AD^2 = AB^2 + DB^2$.

По условию, которое мы хотим доказать, предположим, что одна наклонная больше другой, например, $AC > AD$.

Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, мы можем возвести обе части этого неравенства в квадрат, при этом знак неравенства сохранится: $AC^2 > AD^2$.

Теперь подставим в это неравенство выражения для $AC^2$ и $AD^2$ из теоремы Пифагора:

$AB^2 + CB^2 > AB^2 + DB^2$

Вычтем из обеих частей неравенства общий член $AB^2$. Знак неравенства при этом не изменится:

$CB^2 > DB^2$

Так как длины проекций CB и DB также являются положительными величинами, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$CB > DB$

Таким образом, мы доказали, что если наклонная $AC$ больше наклонной $AD$, то ее проекция $CB$ больше проекции $DB$. Аналогично доказывается и обратное утверждение: если проекция больше, то и соответствующая ей наклонная больше.

Ответ: Утверждение доказано. Из двух наклонных, проведенных из одной точки к прямой, больше та, у которой больше проекция, и наоборот, большей наклонной соответствует большая проекция. Это следует из теоремы Пифагора, примененной к прямоугольным треугольникам, образованным наклонными, их проекциями и перпендикуляром, опущенным из той же точки на прямую.