Номер 14.9, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.9. Из точки $\text{A}$ к прямой $\text{b}$ проведены перпендикуляр $\text{AB}$ и наклонные $AB_1$, $AB_2$. Какая из двух наклонных меньше, если:

а) $B_1$ лежит между $\text{B}$ и $B_2$;

б) $\text{B}$ лежит между $B_1$, $B_2$ и $BB_1 < BB_2$?

а) Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных перпендикуляром и наклонными: $\triangle ABB_1$ и $\triangle ABB_2$. В этих треугольниках катет $AB$ является общим, а наклонные $AB_1$ и $AB_2$ — их гипотенузы. Катетами, лежащими на прямой $b$, являются отрезки $BB_1$ и $BB_2$. Эти отрезки называются проекциями наклонных. По теореме Пифагора для каждого треугольника можно записать: $AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$ $AB_2^2 = AB^2 + BB_2^2$ По условию, точка $B_1$ лежит между точками $B$ и $B_2$. Это означает, что отрезок $BB_1$ является частью отрезка $BB_2$, и, следовательно, длина $BB_1$ меньше длины $BB_2$. Математически это записывается как $BB_1 < BB_2$. Так как длины отрезков — положительные величины, то из $BB_1 < BB_2$ следует, что $BB_1^2 < BB_2^2$. Теперь сравним квадраты длин наклонных. Поскольку $AB^2$ — это общая величина в обоих выражениях, а $BB_1^2 < BB_2^2$, то и $AB^2 + BB_1^2 < AB^2 + BB_2^2$. Это означает, что $AB_1^2 < AB_2^2$. Так как длины наклонных положительны, из этого следует, что $AB_1 < AB_2$. Таким образом, наклонная $AB_1$ меньше наклонной $AB_2$.

Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.

б) Как и в предыдущем случае, мы имеем два прямоугольных треугольника $\triangle ABB_1$ и $\triangle ABB_2$, где длины гипотенуз (наклонных) связаны с длинами катетов (перпендикуляра и проекций) через теорему Пифагора: $AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$ и $AB_2^2 = AB^2 + BB_2^2$. Условие, что точка $B$ лежит между $B_1$ и $B_2$, означает, что основания наклонных находятся по разные стороны от основания перпендикуляра. Для сравнения длин наклонных решающее значение имеют длины их проекций — отрезков $BB_1$ и $BB_2$. В условии задачи дано неравенство $BB_1 < BB_2$. Это означает, что проекция наклонной $AB_1$ короче проекции наклонной $AB_2$. Существует свойство: из двух наклонных, проведенных из одной точки к прямой, та наклонная меньше, у которой меньше проекция. Поскольку по условию $BB_1 < BB_2$, то, применяя это свойство, мы можем сразу заключить, что $AB_1 < AB_2$.

Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.