Номер 14.2, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.2. Сколько наклонных заданной длины можно провести из данной точки к данной прямой?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть, как связаны между собой длина наклонной, расстояние от точки до прямой и проекция наклонной на эту прямую.

Пусть у нас есть точка $A$, не лежащая на прямой $l$. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к прямой $l$. Длина этого перпендикуляра $h = |AH|$ является расстоянием от точки $A$ до прямой $l$. Любой другой отрезок $AM$, соединяющий точку $A$ с точкой $M$ на прямой $l$ (где $M$ не совпадает с $H$), называется наклонной. Длину наклонной обозначим как $d = |AM|$. Отрезок $HM$ называется проекцией наклонной $AM$ на прямую $l$, его длину обозначим как $p = |HM|$.

Треугольник $\triangle AHM$ является прямоугольным с гипотенузой $AM$. Согласно теореме Пифагора, длины этих отрезков связаны соотношением: $d^2 = h^2 + p^2$.

Из этой формулы мы можем выразить длину проекции: $p^2 = d^2 - h^2$, или $p = \sqrt{d^2 - h^2}$.

Теперь рассмотрим возможные случаи в зависимости от соотношения между заданной длиной наклонной $d$ и расстоянием от точки до прямой $h$, которое является фиксированной величиной для данной точки и данной прямой.

1. Если заданная длина наклонной меньше расстояния от точки до прямой ($d < h$).

В этом случае $d^2 < h^2$, и выражение $d^2 - h^2$ будет отрицательным. Квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом, поэтому не существует проекции $p$ с реальной длиной. Геометрически это означает, что невозможно провести отрезок такой длины от точки $A$ до прямой $l$, так как кратчайшим расстоянием является перпендикуляр $h$. Таким образом, в этом случае нельзя провести ни одной наклонной.

2. Если заданная длина наклонной равна расстоянию от точки до прямой ($d = h$).

В этом случае $d^2 = h^2$, и $p = \sqrt{h^2 - h^2} = \sqrt{0} = 0$. Проекция равна нулю, что означает, что точка $M$ совпадает с точкой $H$. Отрезок $AM$ в этом случае является самим перпендикуляром $AH$. По определению, наклонная — это отрезок, не являющийся перпендикуляром. Следовательно, в этом случае нельзя провести ни одной наклонной.

3. Если заданная длина наклонной больше расстояния от точки до прямой ($d > h$).

В этом случае $d^2 > h^2$, и выражение $d^2 - h^2$ будет положительным. Длина проекции $p = \sqrt{d^2 - h^2}$ будет представлять собой некоторое положительное число. На прямой $l$ существуют ровно две точки, которые находятся на расстоянии $p$ от точки $H$ — одна слева и одна справа. Обозначим их $M_1$ и $M_2$. Таким образом, можно провести две наклонные, $AM_1$ и $AM_2$, каждая из которых будет иметь заданную длину $d$.

Ответ: Количество наклонных заданной длины $d$, которые можно провести из данной точки к данной прямой, зависит от соотношения между $d$ и расстоянием $h$ от точки до прямой:

• Если $d > h$, можно провести две наклонные.
• Если $d \le h$, то нельзя провести ни одной наклонной.