Номер 13.16, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

13.16. Теорема Фалеса о равенстве двух треугольников, имеющих равные стороны и два прилежащих к нему угла.

13.16. Теорема Фалеса о равенстве двух треугольников, имеющих равные стороны и два прилежащих к нему угла.

Эта теорема, также известная как второй признак равенства треугольников, устанавливает условия, при которых два треугольника считаются равными (конгруэнтными), если у них равны одна сторона и два угла. Формулировка "два прилежащих к нему угла" может трактоваться двумя способами, которые, однако, приводят к одному и тому же результату — равенству треугольников.

Случай 1: Равенство по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак УСУ, или ASA - Angle-Side-Angle).

Формулировка теоремы: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

$AC = A_1C_1$

$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (или $\angle A = \angle A_1$)

$\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$ (или $\angle C = \angle C_1$)

Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Будем использовать метод наложения. Наложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ на треугольник $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с вершиной $A$, а сторона $A_1C_1$ пошла по лучу $AC$. Поскольку по условию $AC = A_1C_1$, то вершина $C_1$ совпадет с вершиной $C$.

Так как $\angle A = \angle A_1$, то сторона $A_1B_1$ пойдет по лучу $AB$.

Так как $\angle C = \angle C_1$, то сторона $C_1B_1$ пойдет по лучу $CB$.

Вершина $B_1$ должна лежать одновременно на луче $AB$ и на луче $CB$. Две прямые могут пересекаться только в одной точке, следовательно, вершина $B_1$ совпадет с точкой пересечения этих лучей — вершиной $B$.

Таким образом, все три вершины одного треугольника совпали с соответствующими вершинами другого треугольника. Это означает, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ полностью совпали, то есть они равны. Что и требовалось доказать.

Случай 2: Равенство по стороне и двум любым углам (признак УУС, или AAS - Angle-Angle-Side).

Формулировка теоремы: Если сторона, прилежащий к ней угол и противолежащий ей угол одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и противолежащему ей углу другого треугольника, то такие треугольники равны. (Иногда этот случай формулируют как "по стороне и двум углам").

Дано: Два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

$AC = A_1C_1$

$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (или $\angle A = \angle A_1$)

$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (или $\angle B = \angle B_1$)

Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Для $\triangle ABC$ имеем: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$.

Для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: $\angle C_1 = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1$.

Поскольку по условию $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то из предыдущих равенств следует, что $\angle C = \angle C_1$.

Теперь мы имеем, что в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$:

1. $AC = A_1C_1$ (по условию)

2. $\angle A = \angle A_1$ (по условию)

3. $\angle C = \angle C_1$ (как мы только что доказали)

Эти условия соответствуют первому случаю (признак УСУ). Следовательно, по теореме о равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Таким образом, оба случая доказывают равенство треугольников. Название "Теорема Фалеса" в данном контексте, вероятно, является исторической отсылкой, так как древнегреческий математик Фалес Милетский, по преданиям, использовал подобные рассуждения для определения расстояния до кораблей в море. В современной школьной программе эту теорему чаще называют вторым признаком равенства треугольников.

Ответ: Теорема утверждает, что если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Это включает в себя два случая: 1) равенство по стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ/ASA); 2) равенство по стороне и двум любым углам (УУС/AAS), так как второй случай сводится к первому через нахождение третьего угла (сумма углов треугольника равна $180^\circ$).