Номер 14.1, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.1. Сколько перпендикуляров можно опустить из данной точки на данную прямую?

14.1. Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая взаимного расположения данной точки и данной прямой.

Случай 1: Точка не лежит на прямой.

Это классический случай, который обычно и подразумевается в данном вопросе. Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не принадлежащая этой прямой ($A \notin a$). Перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на прямую $a$, — это отрезок, соединяющий точку $A$ с точкой $H$ на прямой $a$, такой, что прямая, содержащая этот отрезок, образует с прямой $a$ угол $90^\circ$.

Согласно фундаментальной теореме евклидовой геометрии, из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.

Доказательство этого факта можно провести методом от противного. Допустим, что из точки $A$ можно опустить на прямую $a$ два различных перпендикуляра, $AH_1$ и $AH_2$. Это означает, что у нас есть две точки на прямой, $H_1$ и $H_2$, такие, что $\angle AH_1H_2 = 90^\circ$ и $\angle AH_2H_1 = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AH_1H_2$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В нашем случае сумма углов была бы:

$\angle H_1AH_2 + \angle AH_1H_2 + \angle AH_2H_1 = 180^\circ$

$\angle H_1AH_2 + 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle H_1AH_2 + 180^\circ = 180^\circ$

Из этого уравнения следует, что $\angle H_1AH_2 = 0^\circ$. Нулевой угол означает, что лучи $AH_1$ и $AH_2$ совпадают, а значит, и перпендикуляры совпадают. Это противоречит нашему начальному предположению о том, что они различны. Следовательно, наше допущение неверно, и из точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр.

Случай 2: Точка лежит на прямой.

Пусть точка $A$ лежит на прямой $a$ ($A \in a$). В этой ситуации термин "опустить перпендикуляр" применяется редко, так как расстояние от точки до прямой равно нулю. Основание перпендикуляра совпадает с самой точкой $A$. Если рассматривать перпендикуляр как отрезок, его длина будет равна нулю (это вырожденный отрезок, точка). Такой вырожденный перпендикуляр также является единственным.

Если же под "перпендикуляром" понимать прямую, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $a$, то в плоскости такая прямая тоже существует и единственна.

Таким образом, в обеих ситуациях можно провести только один перпендикуляр.

Ответ: Из данной точки на данную прямую можно опустить ровно один перпендикуляр.