Номер 14.4, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.4. Может ли биссектриса треугольника быть меньше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?

14.4. Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ и биссектрису $BL$ к стороне $AC$. По определению, высота $BH$ является перпендикуляром к прямой, содержащей сторону $AC$, то есть $BH \perp AC$. Это означает, что $BH$ — кратчайшее расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

Конец биссектрисы, точка $L$, лежит на отрезке $AC$. Конец высоты, точка $H$, лежит на прямой $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHL$, в котором:

• $BH$ — катет (высота исходного треугольника).
• $HL$ — катет (расстояние между основаниями высоты и биссектрисы).
• $BL$ — гипотенуза (биссектриса исходного треугольника).

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, длина биссектрисы $BL$ как гипотенузы не может быть меньше длины высоты $BH$, которая является катетом. Математически это записывается как $BL \ge BH$.

Равенство $BL = BH$ достигается только в том случае, если длина второго катета $HL$ равна нулю. Это означает, что точки $H$ и $L$ совпадают. Такое происходит, когда биссектриса одновременно является и высотой. Это свойство выполняется в равнобедренном треугольнике для высоты и биссектрисы, проведенных к основанию, а также в равностороннем треугольнике для любой вершины.

Если же треугольник не является равнобедренным относительно вершины $B$ ($AB \ne BC$), то точки $H$ и $L$ не совпадают, и $BL$ будет строго больше $BH$ ($BL > BH$).

Таким образом, биссектриса треугольника, проведенная из какой-либо вершины, никогда не может быть короче высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: нет, не может.