Номер 14.6, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.6. Чему равна проекция одной стороны равностороннего треугольника со стороной 1 на прямую, содержащую другую его сторону?

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$, у которого длина каждой стороны равна $1$. Нам необходимо найти длину проекции одной из его сторон, например $AC$, на прямую, содержащую другую сторону, например $AB$.

Проекция отрезка $AC$ на прямую, содержащую $AB$, — это отрезок, заключенный между проекциями его конечных точек, $A$ и $C$. Так как точка $A$ уже находится на этой прямой, ее проекция совпадает с ней самой. Чтобы найти проекцию точки $C$, нужно опустить из нее перпендикуляр на прямую $AB$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда искомая проекция — это отрезок $AH$.

Рассмотрим получившийся треугольник $AHC$. Он является прямоугольным, так как $CH$ — перпендикуляр к $AH$. Гипотенузой в этом треугольнике является сторона $AC$, длина которой равна $1$. Угол $\angle CAH$ совпадает с углом $\angle CAB$ равностороннего треугольника, который равен $60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла. Для катета $AH$ получаем: $AH = AC \cdot \cos(\angle CAH)$.

Подставим известные значения: $AH = 1 \cdot \cos(60^\circ)$.

Поскольку значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, находим длину проекции: $AH = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0.5$.