Задания, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно объясните, почему через точку, принадлежащую прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.

Это утверждение является фундаментальной теоремой планиметрии. Его доказательство состоит из двух частей: доказательства существования такой прямой и доказательства её единственности.

1. Доказательство существования.

Пусть дана прямая a и точка M, принадлежащая этой прямой. Прямая a представляет собой развернутый угол с вершиной в точке M, величина которого составляет $180^\circ$. Согласно аксиоме откладывания углов, от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей $180^\circ$. Возьмём один из лучей, на которые точка M разбивает прямую a. Отложим от этого луча в любую из двух полуплоскостей угол, равный $90^\circ$. Построим луч m, который является второй стороной этого угла. Этот луч m является частью некоторой прямой b, проходящей через точку M. Угол, который образует прямая b с одной частью прямой a, равен $90^\circ$. Смежный с ним угол, который прямая b образует с другой частью прямой a, будет равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку прямые a и b пересекаются и образуют четыре прямых угла, они перпендикулярны по определению. Таким образом, существование хотя бы одной прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную на ней точку, доказано.

2. Доказательство единственности.

Для доказательства единственности воспользуемся методом от противного. Предположим, что через точку M на прямой a можно провести две различные прямые, b и c, и обе они перпендикулярны прямой a. Это означает, что каждая из этих прямых, b и c, образует с прямой a угол в $90^\circ$. Рассмотрим одну и ту же полуплоскость относительно прямой a. В этой полуплоскости от одного и того же луча прямой a с началом в точке M мы отложили два угла по $90^\circ$, чтобы получить лучи, принадлежащие прямым b и c. Однако аксиома откладывания углов гласит, что от заданного луча в заданную полуплоскость можно отложить только один угол данной величины. Следовательно, лучи прямых b и c, лежащие в одной полуплоскости, должны совпадать. Аналогично, совпадают и их лучи в другой полуплоскости. А это значит, что прямые b и c — это одна и та же прямая. Мы пришли к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что прямые b и c различны. Следовательно, наше предположение было неверным, и через точку на прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.

Ответ: Существование перпендикуляра следует из аксиомы откладывания углов (возможности построить угол в $90^\circ$). Единственность доказывается методом от противного: допущение о существовании двух различных перпендикуляров в одной точке противоречит той же аксиоме, согласно которой в данной полуплоскости от данного луча можно отложить только один угол заданной величины. Следовательно, такой перпендикуляр может быть только один.