Номер 13.15, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьте сообщение

13.15. Прямоугольные треугольники, содержащиеся в папирусе Ахмеса.

Введение: Папирус Ахмеса и геометрия Древнего Египта

Папирус Ахмеса, также известный как Математический папирус Ринда, является одним из важнейших источников по математике Древнего Египта. Он был создан около 1550 г. до н.э. писцом по имени Ахмес, который, по его словам, переписал его с более древнего документа. Египетская математика носила преимущественно прикладной характер, и папирус содержит 87 задач, связанных с арифметикой и геометрией, включая вычисление площадей, объемов, а также решение задач, связанных со строительством и землемерием.

Хотя в папирусе Ахмеса нет явной формулировки теоремы Пифагора, в нем содержатся задачи, решение которых основано на свойствах прямоугольных треугольников. В основном это касается расчетов, связанных со строительством пирамид.

Ответ: Папирус Ахмеса — древнеегипетский математический текст, содержащий практические задачи, некоторые из которых решаются с использованием свойств прямоугольных треугольников, особенно в контексте строительства.

Понятие «секед» и его связь с прямоугольными треугольниками

Центральным понятием в египетской геометрии, связанным с прямоугольными треугольниками, является «секед» (или seked). Это мера наклона боковой грани пирамиды. Секед определялся как горизонтальное смещение (run), соответствующее вертикальному подъему (rise) на один царский локоть.

Для вычисления секеда рассматривался воображаемый прямоугольный треугольник внутри пирамиды. Его катетами служили высота пирамиды ($h$) и половина длины стороны ее основания ($a/2$), а гипотенузой — апофема (высота боковой грани). Секед — это, по сути, котангенс угла наклона грани пирамиды к основанию, выраженный в определенных единицах измерения.

Формула для секеда, выраженного в ладонях на локоть высоты, выглядит так: $Секед = \frac{a/2}{h} \times 7$ ладоней, поскольку 1 царский локоть равнялся 7 ладоням.

Ответ: Секед — это древнеегипетская мера наклона грани пирамиды, которая вычислялась через отношение катетов прямоугольного треугольника (половины основания к высоте), что является ранним примером использования тригонометрических соотношений.

Задачи на вычисление «секеда» (№ 56-60) В папирусе Ахмеса задачи с 56 по 60 посвящены вычислениям, связанным с секедом пирамид. Наиболее показательной является задача № 56.

Условие задачи № 56: Если высота пирамиды составляет 250 локтей, а сторона ее основания — 360 локтей, каков ее секед?

Решение:

1. Находим половину длины основания: $360 / 2 = 180$ локтей.

2. Находим отношение горизонтального смещения к вертикальному: $180 / 250 = 18/25$. Это отношение показывает, какая доля локтя приходится на горизонтальное смещение при подъеме на 1 локоть.

3. Чтобы выразить секед в более удобных единицах — ладонях (1 локоть = 7 ладоней), — египтяне умножали это отношение на 7: $Секед = \frac{18}{25} \times 7 = \frac{126}{25} = 5\frac{1}{25}$ ладоней.

Остальные задачи (57-60) представляют собой вариации этой проблемы: по известному секеду и основанию найти высоту, или по секеду и высоте найти основание. Все они решаются с использованием пропорций в прямоугольном треугольнике.

Ответ: Задачи № 56-60 из папируса Ахмеса демонстрируют метод вычисления наклона пирамиды (секеда) путем нахождения отношения катетов в прямоугольном треугольнике, образованном высотой и половиной основания пирамиды.

Египетский треугольник и теорема Пифагора

Часто с Древним Египтом связывают так называемый «египетский треугольник» — прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Существует популярная гипотеза, что египетские землемеры («гарпедонапты» или «натягиватели веревки») использовали веревку, разделенную на 12 равных частей узлами, чтобы строить точные прямые углы для фундаментов зданий и разметки полей. Замкнув такую веревку в треугольник со сторонами 3, 4 и 5, они получали прямоугольный треугольник.

Однако, несмотря на правдоподобность этой гипотезы, прямых доказательств использования такого метода именно в папирусе Ахмеса нет. Задачи в этом папирусе, связанные с прямоугольными треугольниками, решаются через отношения сторон (секед), а не через квадраты сторон, как в теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$). В задачах про секед даже не вычисляется длина гипотенузы (апофемы).

Тем не менее, другие египетские документы, например, Берлинский папирус 6619, содержат задачи, решение которых сводится к уравнению, эквивалентному теореме Пифагора для конкретных чисел. Это говорит о том, что египтяне были знакомы с некоторыми пифагоровыми тройками и могли решать соответствующие задачи, но не сформулировали это знание в виде общей теоремы.

Ответ: Хотя египтяне, вероятно, знали о свойствах «египетского треугольника» (3-4-5) и пифагоровых троек, в папирусе Ахмеса задачи с прямоугольными треугольниками решаются через тригонометрические отношения (секед), а не через теорему Пифагора, явных упоминаний которой в папирусе нет.