Номер 13.8, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.8. Докажите, что в прямоугольном треугольнике имеется два острых угла.

13.8. Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник. По определению, один из его углов является прямым, то есть его градусная мера равна $90^\circ$. Обозначим углы этого треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\gamma = 90^\circ$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех внутренних углов равна $180^\circ$. Для нашего случая это можно записать в виде формулы: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Подставив в эту формулу известное значение прямого угла $\gamma$, получим $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$. Из этого уравнения найдем сумму двух оставшихся углов: $\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку любой угол в треугольнике имеет положительную градусную меру, то $\alpha > 0^\circ$ и $\beta > 0^\circ$. Из равенства $\alpha + \beta = 90^\circ$ следует, что каждый из этих углов меньше $90^\circ$. Действительно, если $\alpha > 0^\circ$, то $\beta = 90^\circ - \alpha < 90^\circ$. Аналогично, если $\beta > 0^\circ$, то $\alpha = 90^\circ - \beta < 90^\circ$.

Угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, по определению является острым. Следовательно, углы $\alpha$ и $\beta$ — острые. Таким образом, доказано, что в прямоугольном треугольнике, помимо одного прямого угла, всегда имеется два острых угла.

Ответ: Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, поэтому сумма двух других углов составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как эти два угла положительны, каждый из них обязательно меньше $90^\circ$, то есть они являются острыми.