Номер 13.9, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.9. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством соотношения сторон и углов в треугольнике.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник, обозначим его вершины как A, B, C, где $\angle C$ — прямой угол, то есть $\angle C = 90^\circ$. Стороны AC и BC являются катетами, а сторона AB, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой.

Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Таким образом, для нашего треугольника имеем: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим значение угла C: $\angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$.

Отсюда следует, что сумма двух других углов равна $90^\circ$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Поскольку $\angle A$ и $\angle B$ являются углами треугольника, их величины строго больше нуля. Это означает, что каждый из них меньше $90^\circ$: $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$.

Итак, в прямоугольном треугольнике прямой угол ($\angle C$) всегда является самым большим углом.

В геометрии известно, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Применим это свойство:

1. Сравним гипотенузу AB и катет BC. Гипотенуза AB лежит против угла C ($90^\circ$), а катет BC — против угла A (который меньше $90^\circ$). Поскольку $\angle C > \angle A$, то и сторона $AB > BC$.

2. Сравним гипотенузу AB и катет AC. Гипотенуза AB лежит против угла C ($90^\circ$), а катет AC — против угла B (который меньше $90^\circ$). Поскольку $\angle C > \angle B$, то и сторона $AB > AC$.

Таким образом, мы доказали, что гипотенуза всегда длиннее каждого из катетов.

Другой способ доказательства основан на теореме Пифагора. Если катеты равны a и b, а гипотенуза — c, то $c^2 = a^2 + b^2$. Так как длины сторон положительны, то $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$. Отсюда очевидно, что $c^2 = a^2 + b^2 > a^2$ и $c^2 = a^2 + b^2 > b^2$. Поскольку a, b, c — положительные числа, из $c^2 > a^2$ следует $c > a$, а из $c^2 > b^2$ следует $c > b$.

Ответ: Утверждение доказано. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из его катетов, так как она лежит напротив наибольшего угла (прямого), в то время как катеты лежат напротив острых углов.