Номер 13.13, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.13. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие высоты.

Пусть даны два равных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Равенство треугольников ($ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $) означает, что их соответствующие стороны и углы равны. То есть: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $, $ AC = A_1C_1 $, и $ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $.

Нам нужно доказать, что соответствующие высоты в этих треугольниках равны. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или ее продолжение). Соответствующие высоты — это высоты, проведенные из соответственных вершин к соответственным сторонам.

Проведем высоту $ BH $ из вершины $ B $ к стороне $ AC $ в треугольнике $ \triangle ABC $, и соответствующую ей высоту $ B_1H_1 $ из вершины $ B_1 $ к стороне $ A_1C_1 $ в треугольнике $ \triangle A_1B_1C_1 $.

По определению высоты, $ BH \perp AC $ и $ B_1H_1 \perp A_1C_1 $. Следовательно, треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ являются прямоугольными, так как $ \angle BHA = 90^\circ $ и $ \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ $.

Рассмотрим эти два прямоугольных треугольника, $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $.

1. Гипотенуза $ AB $ треугольника $ \triangle ABH $ равна гипотенузе $ A_1B_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1H_1 $. Это следует из условия равенства исходных треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

2. Острый угол $ \angle A $ треугольника $ \triangle ABH $ равен острому углу $ \angle A_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1H_1 $. Это также следует из условия равенства исходных треугольников.

Таким образом, прямоугольный треугольник $ \triangle ABH $ равен прямоугольному треугольнику $ \triangle A_1B_1H_1 $ по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $ \triangle ABH \cong \triangle A_1B_1H_1 $ следует равенство их соответственных сторон. Катет $ BH $ лежит против угла $ \angle A $, а катет $ B_1H_1 $ лежит против равного ему угла $ \angle A_1 $. Следовательно, катеты $ BH $ и $ B_1H_1 $ равны: $ BH = B_1H_1 $.

Аналогично доказывается равенство и для двух других пар соответствующих высот. Таким образом, в равных треугольниках все соответствующие высоты равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.