Номер 14.14, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.14. Докажите, что биссектриса треугольника не превосходит его медианы, проведенной из той же вершины.

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведены биссектриса $AL$ и медиана $AM$. Обозначим длины сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, как $a, b, c$ соответственно. Нам необходимо доказать, что длина биссектрисы не превосходит длины медианы, то есть $AL \le AM$.

Доказательство проведём, сравнивая квадраты длин этих отрезков. Воспользуемся известными формулами для квадратов длин биссектрисы ($l_a$) и медианы ($m_a$), проведённых из вершины $A$:

$l_a^2 = AL^2 = bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2}$

$m_a^2 = AM^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

Нам нужно доказать неравенство $l_a^2 \le m_a^2$:

$bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2} \le \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

Для удобства преобразуем неравенство, перенеся члены, содержащие $a^2$, в левую часть, а остальные — в правую:

$\frac{a^2}{4} - \frac{a^2bc}{(b+c)^2} \le \frac{2b^2+2c^2}{4} - bc$

Вынесем $a^2$ за скобки в левой части и приведём к общему знаменателю правую часть:

$a^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{bc}{(b+c)^2} \right) \le \frac{2b^2+2c^2-4bc}{4}$

Теперь приведём к общему знаменателю выражение в скобках в левой части и упростим правую:

$a^2 \left( \frac{(b+c)^2 - 4bc}{4(b+c)^2} \right) \le \frac{2(b^2-2bc+c^2)}{4}$

Раскроем скобки в числителе левой части и преобразуем выражения:

$a^2 \left( \frac{b^2+2bc+c^2 - 4bc}{4(b+c)^2} \right) \le \frac{(b-c)^2}{2}$

$a^2 \frac{b^2-2bc+c^2}{4(b+c)^2} \le \frac{(b-c)^2}{2}$

$a^2 \frac{(b-c)^2}{4(b+c)^2} \le \frac{(b-c)^2}{2}$

Рассмотрим два возможных случая.

1. Если $b=c$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В этом случае биссектриса, проведённая из вершины $A$, является также и медианой. Следовательно, $AL = AM$. Наше неравенство превращается в верное равенство $0 \le 0$.

2. Если $b \ne c$, то $(b-c)^2$ является строго положительным числом. Мы можем разделить обе части неравенства на $(b-c)^2$ без изменения знака неравенства:

$\frac{a^2}{4(b+c)^2} \le \frac{1}{2}$

Умножим обе части на $4(b+c)^2$ (это также положительное число):

$a^2 \le 2(b+c)^2$

Так как длины сторон являются положительными величинами, можно извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства:

$a \le \sqrt{2}(b+c)$

По неравенству треугольника, сторона $a$ всегда меньше суммы двух других сторон: $a < b+c$.

Поскольку $\sqrt{2} > 1$, то $b+c < \sqrt{2}(b+c)$.

Из $a < b+c$ и $b+c < \sqrt{2}(b+c)$ следует, что $a < \sqrt{2}(b+c)$, поэтому полученное нами неравенство $a \le \sqrt{2}(b+c)$ всегда верно.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство $l_a^2 \le m_a^2$ также верно. Поскольку длины отрезков неотрицательны, отсюда следует, что $l_a \le m_a$.

Таким образом, доказано, что биссектриса треугольника, проведённая из некоторой вершины, не превосходит медианы, проведённой из той же вершины. Равенство достигается в случае равнобедренного треугольника ($b=c$).

Ответ: Утверждение доказано. Биссектриса треугольника не превосходит его медианы, проведенной из той же вершины.