Номер 10.26, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.26. Равнобедренные треугольники, содержащиеся в папирусе Ахмеса.

Папирус Ахмеса (также известный как папирус Райнда), датируемый примерно 1550 г. до н.э., является одним из важнейших источников по математике Древнего Египта. Он представляет собой сборник задач с решениями и демонстрирует практические знания египтян. Среди прочих задач в папирусе рассматриваются и задачи, связанные с равнобедренными треугольниками, в основном в контексте вычисления площади земельных участков.

Геометрия треугольника в папирусе

В отличие от современной математики, где формулы выводятся и доказываются в общем виде, египетская математика была набором практических алгоритмов для решения конкретных задач. В папирусе Ахмеса нет общей формулы для площади произвольного треугольника. Однако для равнобедренного треугольника египтяне использовали правильный метод, который эквивалентен современной формуле: площадь равна половине произведения основания на высоту.

Ответ: В папирусе Ахмеса содержатся практические методы для вычисления площади равнобедренных треугольников, основанные на алгоритме, эквивалентном формуле $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

Задача R51: Вычисление площади равнобедренного треугольника

Эта задача является классическим примером. Условие звучит следующим образом: «Пример вычисления треугольника земли. Если тебе скажут: треугольник в 10 хет на его mryt и в 4 хет на его основании. Какова его площадь?». Термин mryt является предметом дискуссий; он мог означать как высоту, так и боковую сторону. Однако решение, представленное в папирусе, вносит ясность. Писец предлагает следующий алгоритм: «Ты должен взять половину от 4, что есть 2. Ты должен умножить 10 на 2. Это и будет его площадь».

В математической записи это выглядит так: $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 2 \times 10 = 20$.

Площадь равна 20 квадратным хет (или сетат). Этот метод расчета корректен, если mryt, равное 10 хет, является высотой треугольника. Если бы 10 хет было длиной боковой стороны, высота, вычисленная по теореме Пифагора (которую египтяне в явной форме не использовали), была бы $h = \sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{96} \approx 9.8$ хет, а площадь — около 19.6. Простота и прямолинейность вычислений в папирусе убедительно доказывают, что под mryt в данном контексте подразумевалась именно высота.

Ответ: Задача R51 демонстрирует, что для вычисления площади равнобедренного треугольника с основанием 4 и высотой 10 древние египтяне использовали верный алгоритм, получая в ответе 20.

Задача R52: Усеченный треугольник (трапеция) Задача R52, хотя и посвящена фигуре, которую мы сегодня называем трапецией, тесно связана с темой треугольников. В ней требуется найти площадь «усеченного треугольника» с высотой 20 хет, нижним основанием 6 хет и верхним основанием («линией усечения») 4 хет. Такой объект является равнобедренной трапецией, которую можно получить, отсекая вершину равнобедренного треугольника.

Решение в папирусе выглядит так: «Сложи его основание с его линией усечения, получится 10. Возьми половину от 10, что есть 5. Умножь 20 на 5, получится 100. Это и есть его площадь».

Этот алгоритм соответствует современной формуле площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{6+4}{2} \cdot 20 = 100$.

Эта задача показывает, что египетские землемеры владели точными практическими методами для расчета площадей не только треугольников, но и более сложных фигур, таких как равнобедренные трапеции.

Ответ: Задача R52 показывает, что египтяне умели правильно вычислять площадь равнобедренной трапеции (называя ее «усеченным треугольником»), используя алгоритм, полностью соответствующий современной формуле.