Номер 10.24, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.24. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $\text{AC}$ проведена медиана $\text{BD}$. Найдите ее длину, если периметр треугольника $ABC$ равен 50 м, а периметр треугольника $ABD$ равен 40 м.

По условию задачи, дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$. Учитывая, что $AB = BC$, получаем $P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$. Из условия известно, что $P_{ABC} = 50$ м, значит:

$2 \cdot AB + AC = 50$

$BD$ является медианой, проведенной к основанию $AC$. По определению медианы, она делит сторону, к которой проведена, пополам. Следовательно, точка $D$ — середина стороны $AC$, и $AD = \frac{1}{2}AC$.

Периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + AD + BD$. Подставив $AD = \frac{1}{2}AC$, получим $P_{ABD} = AB + \frac{1}{2}AC + BD$. Из условия известно, что $P_{ABD} = 40$ м, значит:

$AB + \frac{1}{2}AC + BD = 40$

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $2 \cdot AB + AC = 50$

2) $AB + \frac{1}{2}AC + BD = 40$

Разделим обе части первого уравнения на 2:

$\frac{2 \cdot AB + AC}{2} = \frac{50}{2}$

$AB + \frac{1}{2}AC = 25$

Теперь подставим полученное выражение $AB + \frac{1}{2}AC = 25$ во второе уравнение:

$(AB + \frac{1}{2}AC) + BD = 40$

$25 + BD = 40$

Отсюда найдем длину медианы $BD$:

$BD = 40 - 25$

$BD = 15$ м.

Ответ: 15 м.