Номер 10.21, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.21. Докажите, что если биссектриса треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

10.21. Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник $ABC$, в котором из вершины $B$ на сторону $AC$ опущен отрезок $BD$, который одновременно является и биссектрисой угла $\angle ABC$, и высотой к стороне $AC$.

По условию нам дано:

1. $BD$ — биссектриса, следовательно, она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

2. $BD$ — высота, следовательно, она перпендикулярна стороне $AC$, образуя два прямых угла: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$, которые образованы отрезком $BD$.

Сравним эти два треугольника:

• Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников ($\triangle ABD$ и $\triangle CBD$).

• Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CBD$ (так как $BD$ — биссектриса).

• Угол $\angle BDA$ равен углу $\angle BDC$ (так как $BD$ — высота, и оба угла равны $90^\circ$).

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). В данном случае равными элементами являются сторона $BD$, и прилежащие к ней углы $\angle ABD$ и $\angle BDA$ в одном треугольнике, и сторона $BD$ и прилежащие к ней углы $\angle CBD$ и $\angle BDC$ в другом.

Из равенства треугольников $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle BDA$ в $\triangle ABD$, а сторона $BC$ лежит напротив равного ему угла $\angle BDC$ в $\triangle CBD$. Следовательно, $AB = BC$.

Поскольку две стороны треугольника $ABC$ равны ($AB = BC$), то по определению этот треугольник является равнобедренным. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано путём сравнения двух прямоугольных треугольников, образованных биссектрисой-высотой, и установления их равенства по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников), из чего следует равенство боковых сторон исходного треугольника.