Номер 10.19, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.19. На рисунке 10.21 $DC = BC$ и угол $\text{B}$ равен углу $\text{D}$. Докажите, что $AB = AD$.

Рис. 10.21

Для доказательства равенства сторон $AB$ и $AD$ рассмотрим фигуру, представленную на рисунке.

По условию задачи дано, что $DC = BC$. Рассмотрим треугольник $\triangle BDC$. Так как две его стороны равны, он является равнобедренным с основанием $BD$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Следовательно, $\angle CBD = \angle CDB$.

Также по условию задачи сказано, что угол $B$ равен углу $D$. В контексте данной фигуры это означает равенство углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$. Запишем это: $\angle ABC = \angle ADC$.

Угол $\angle ABC$ можно представить как сумму двух углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$.

Аналогично, угол $\angle ADC$ можно представить как сумму двух углов: $\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$.

Поскольку $\angle ABC = \angle ADC$, мы можем приравнять правые части их выражений:

$\angle ABD + \angle CBD = \angle ADB + \angle CDB$

Ранее мы установили, что $\angle CBD = \angle CDB$. Вычтем эти равные по величине углы из обеих частей равенства:

$\angle ABD + \angle CBD - \angle CBD = \angle ADB + \angle CDB - \angle CDB$

В результате получаем:

$\angle ABD = \angle ADB$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В этом треугольнике два угла, $\angle ABD$ и $\angle ADB$, равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle ABD$, а сторона $AB$ — напротив угла $\angle ADB$. Следовательно, $AB = AD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = AD$ доказано.