Номер 10.17, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.17. На рисунке 10.19 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 5 = \angle 6$. Докажите, что $\angle 3 = \angle 4$.

Рис. 10.19

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$.

По условию задачи дано, что угол 1 равен углу 2 ($\angle 1 = \angle 2$), и угол 5 равен углу 6 ($\angle 5 = \angle 6$).

Используя обозначения вершин, перепишем условия:

• $\angle 1 = \angle CBA$ и $\angle 2 = \angle DBA$. Так как $\angle 1 = \angle 2$, то $\angle CBA = \angle DBA$.
• $\angle 5 = \angle CAB$ и $\angle 6 = \angle DAB$. Так как $\angle 5 = \angle 6$, то $\angle CAB = \angle DAB$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. У них:

1. $\angle CAB = \angle DAB$ (из условия $\angle 5 = \angle 6$).

2. Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников.

3. $\angle CBA = \angle DBA$ (из условия $\angle 1 = \angle 2$).

Следовательно, треугольник $ABC$ равен треугольнику $ABD$ ($\triangle ABC = \triangle ABD$) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответственные элементы равны. Угол 3 ($\angle BCA$) в треугольнике $\triangle ABC$ и угол 4 ($\angle BDA$) в треугольнике $\triangle ABD$ являются соответственными углами, так как они лежат напротив общей стороны $AB$.

Таким образом, $\angle 3 = \angle 4$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle 3 = \angle 4$ доказано.