Номер 10.20, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.20. На рисунке 10.22 $AB = BC$, угол 1 равен углу 2. Докажите, что $AD = CD$.

Рис. 10.22

Проведём диагональ $AC$, которая делит четырёхугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию задачи, сторона $AB$ равна стороне $BC$. Это означает, что $\triangle ABC$ является равнобедренным треугольником с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

По условию задачи, $\angle 1 = \angle 2$. Угол 1 — это $\angle DAB$, а угол 2 — это $\angle DCB$. Таким образом, $\angle DAB = \angle DCB$.

Угол $\angle DAB$ можно представить как сумму двух углов: $\angle DAB = \angle DAC + \angle BAC$.

Аналогично, угол $\angle DCB$ можно представить как сумму углов: $\angle DCB = \angle DCA + \angle BCA$.

Так как $\angle DAB = \angle DCB$, мы можем приравнять их выражения через суммы углов:

$\angle DAC + \angle BAC = \angle DCA + \angle BCA$

Из первого шага мы знаем, что $\angle BAC = \angle BCA$. Поэтому мы можем вычесть эти равные величины из обеих частей равенства:

$\angle DAC + \angle BAC - \angle BAC = \angle DCA + \angle BCA - \angle BCA$

В результате получаем:

$\angle DAC = \angle DCA$

Теперь рассмотрим $\triangle ADC$. В этом треугольнике мы нашли два равных угла: $\angle DAC$ и $\angle DCA$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, в таком треугольнике равны. Напротив угла $\angle DCA$ лежит сторона $AD$, а напротив угла $\angle DAC$ лежит сторона $CD$.

Следовательно, $AD = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство сторон $AD = CD$ доказано на основе равенства треугольника $\triangle ADC$ равнобедренным.