Номер 9.17, страница 56 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.17. На рисунке 9.17 $AE = AC$, $\angle 1 = \angle 2$, $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 40^\circ$. Найдите $\angle D$.

Рис. 9.17

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдём углы в треугольнике ABC.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам даны два угла: $\angle A = 50^\circ$ и $\angle B = 40^\circ$.

$\angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 50^\circ - 40^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным, а угол $ACB$ — прямой. Поскольку точки $A$, $C$, и $D$ лежат на одной прямой, отрезок $BC$ перпендикулярен прямой $AD$. Следовательно, $\angle BCD$ также является прямым углом: $\angle BCD = 90^\circ$.

2. Найдём углы в треугольнике AEC.

Рассмотрим треугольник $AEC$. По условию, $AE = AC$. Это означает, что треугольник $AEC$ — равнобедренный с основанием $EC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle AEC = \angle ACE$.

Сумма углов треугольника $AEC$ равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle AEC + \angle ACE = 180^\circ$

Так как $\angle AEC = \angle ACE$, мы можем записать:

$50^\circ + 2 \cdot \angle AEC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle AEC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

$\angle AEC = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$.

Следовательно, $\angle ACE = 65^\circ$ и $\angle AEC = 65^\circ$.

3. Используем условие равенства углов 1 и 2.

По условию задачи, $\angle 1 = \angle 2$.

Из рисунка видно, что $\angle 1$ — это $\angle AEC$, а $\angle 2$ — это $\angle ECD$.

Мы уже нашли, что $\angle 1 = \angle AEC = 65^\circ$.

Значит, $\angle 2 = \angle ECD = 65^\circ$.

4. Найдём угол D.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Мы установили, что $\angle BCD = 90^\circ$, то есть это прямоугольный треугольник. Чтобы найти угол $D$ (он же $\angle BDC$), мы можем использовать тангенс, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle D) = \frac{BC}{CD}$

Выразим длины катетов $BC$ и $CD$ через длину стороны $AC$, которую примем за $x$. То есть, $AC = x$.

Из прямоугольного треугольника $ABC$:

$BC = AC \cdot \tan(\angle A) = x \cdot \tan(50^\circ)$.

Теперь найдём длину $CD$. Рассмотрим треугольник $ECD$. Применим к нему теорему синусов:

$\frac{CD}{\sin(\angle CED)} = \frac{EC}{\sin(\angle D)}$

Нам нужно найти стороны $EC$ и угол $\angle CED$.

Сторону $EC$ найдём из треугольника $AEC$ по теореме синусов:

$\frac{EC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle AEC)}$

$EC = \frac{AC \cdot \sin(\angle A)}{\sin(\angle AEC)} = \frac{x \cdot \sin(50^\circ)}{\sin(65^\circ)}$.

Угол $\angle CED$ не является смежным с $\angle AEC$. Найдём сначала $\angle BEC$. В треугольнике $BCE$ нам известны два угла:

$\angle CBE = \angle B = 40^\circ$.

$\angle BCE = \angle ACB - \angle ACE = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$.

Тогда $\angle BEC = 180^\circ - (40^\circ + 25^\circ) = 115^\circ$.

Углы $\angle AEC$ и $\angle BEC$ ($65^\circ$ и $115^\circ$) в сумме дают $180^\circ$, что подтверждает, что точка $E$ лежит на отрезке $AB$.

Вернёмся к выражению для $\tan(\angle D)$. Вместо того чтобы находить $\angle CED$, воспользуемся теоремой синусов в $\triangle ECD$ для выражения $CD$ через $EC$ и углы:

$CD = EC \frac{\sin(\angle CED)}{\sin(\angle D)} = \frac{x \cdot \sin(50^\circ)}{\sin(65^\circ)} \cdot \frac{\sin(\angle CED)}{\sin(\angle D)}$

Это усложняет задачу. Попробуем другой подход, используя полученные углы. Условие задачи необычно тем, что оно приводит к интересному тригонометрическому тождеству. Установим связь между сторонами $BC$ и $CD$ через $\triangle ECD$. В треугольнике $ECD$ угол $\angle D$ неизвестен. Сумма углов $\angle CED + \angle D = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$, то есть $\angle CED = 115^\circ - \angle D$.

В $\triangle ECD$ по теореме синусов:

$\frac{CD}{\sin(115^\circ - D)} = \frac{EC}{\sin D}$

$CD = EC \frac{\sin(115^\circ - D)}{\sin D} = \frac{x \sin(50^\circ)}{\sin(65^\circ)} \frac{\sin(115^\circ - D)}{\sin D}$

Подставим это в формулу тангенса для $\triangle BCD$:

$\tan D = \frac{BC}{CD} = \frac{x \tan(50^\circ)}{ \frac{x \sin(50^\circ)}{\sin(65^\circ)} \frac{\sin(115^\circ - D)}{\sin D}}$

$\frac{\sin D}{\cos D} = \frac{\tan(50^\circ) \sin(65^\circ) \sin D}{\sin(50^\circ) \sin(115^\circ - D)}$

Сократив на $\sin D$ (т.к. $\angle D \neq 0$), получаем:

$\frac{1}{\cos D} = \frac{\frac{\sin(50^\circ)}{\cos(50^\circ)} \sin(65^\circ)}{\sin(50^\circ) \sin(115^\circ - D)}$

$\cos(50^\circ) \sin(115^\circ - D) = \cos D \sin(65^\circ)$

Хотя этот путь ведёт к решению, он очень сложен. Заметим, что углы в задаче подобраны специальным образом. Существует чисто геометрическое решение, но оно требует дополнительных построений. Однако, можно проверить, не равен ли искомый угол одному из известных. Если предположить, что $\angle D = 50^\circ$, то тригонометрическое тождество выше становится верным: $\cos(50^\circ) \sin(115^\circ - 50^\circ) = \cos(50^\circ) \sin(65^\circ)$. Слева: $\cos(50^\circ) \sin(65^\circ)$. Справа: $\cos(50^\circ) \sin(65^\circ)$. Тождество выполняется, следовательно, наше предположение верно.

Ответ: $50^\circ$.