Номер 7.6, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.6. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольники, стороны которых равны отрезкам, изображенным на рисунке 7.6.

Рис. 7.6

а) Чтобы нарисовать треугольник, стороны которого равны заданным отрезкам, сначала определим длины этих отрезков. Примем сторону одной клетки за единицу. Отрезки являются гипотенузами прямоугольных треугольников, катеты которых лежат на линиях сетки.

Длины отрезков, обозначим их $a, b, c$ (сверху вниз), вычисляются по теореме Пифагора:

Верхний отрезок (a): смещение на 2 клетки по горизонтали и 1 по вертикали. Длина $a = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Средний отрезок (b): смещение на 3 клетки по горизонтали и 1 по вертикали. Длина $b = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.

Нижний отрезок (c): смещение на 4 клетки по горизонтали и 1 по вертикали. Длина $c = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.

Проверим неравенство треугольника, чтобы убедиться, что такой треугольник существует. Сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.

$a+b > c \implies \sqrt{5} + \sqrt{10} > \sqrt{17}$. Возведем в квадрат обе части (обе положительны): $(\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = 5 + 10 + 2\sqrt{50} = 15 + \sqrt{200}$. $(\sqrt{17})^2 = 17$. Так как $\sqrt{200} > \sqrt{4}=2$, то $15+\sqrt{200} > 17$. Неравенство выполняется.

Другие два неравенства ($\sqrt{5}+\sqrt{17}>\sqrt{10}$ и $\sqrt{10}+\sqrt{17}>\sqrt{5}$) очевидно выполняются. Следовательно, треугольник существует.

Чтобы нарисовать треугольник, нужно найти три вершины в узлах сетки, расстояния между которыми равны $\sqrt{5}, \sqrt{10}, \sqrt{17}$. Можно найти такое расположение вершин. Например, если выбрать одну вершину $A$ в точке с координатами $(0,0)$, то две другие вершины могут быть $B(4,1)$ и $C(3,-1)$.

Проверим длины сторон для этих вершин:

Длина стороны $AB = \sqrt{(4-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.

Длина стороны $AC = \sqrt{(3-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.

Длина стороны $BC = \sqrt{(4-3)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Все длины соответствуют заданным отрезкам.

Таким образом, для построения треугольника нужно:

1. Выбрать произвольный узел сетки как вершину $A$.

2. Отсчитать от $A$ 4 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы получить вершину $B$.

3. Отсчитать от $A$ 3 клетки вправо и 1 клетку вниз, чтобы получить вершину $C$.

4. Соединить точки $A, B, C$.

Ответ:Треугольник можно построить, например, с вершинами в узлах сетки $A(0,0)$, $B(4,1)$ и $C(3,-1)$ (или любой другой треугольник, полученный смещением, поворотом или отражением этого).

б) Аналогично пункту а), определим длины трех отрезков:

Верхний отрезок (d): смещение на 2 клетки по горизонтали и 3 по вертикали. Длина $d = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

Средний отрезок (e): смещение на 3 клетки по горизонтали и 2 по вертикали. Длина $e = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.

Нижний отрезок (f): смещение на 4 клетки по горизонтали и 1 по вертикали. Длина $f = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.

Мы должны построить равнобедренный треугольник со сторонами $\sqrt{13}, \sqrt{13}, \sqrt{17}$.

Неравенство треугольника выполняется: $\sqrt{13} + \sqrt{13} = 2\sqrt{13} = \sqrt{52}$, а $\sqrt{52} > \sqrt{17}$.

Попытаемся найти вершины этого треугольника в узлах сетки. Если бы все три вершины находились в узлах сетки, то площадь такого треугольника по теореме Пика была бы целым или полуцелым числом (кратным $0.5$).

Однако, если мы вычислим площадь этого треугольника по формуле Герона, то получим:

Полупериметр $s = (\sqrt{13} + \sqrt{13} + \sqrt{17}) / 2 = (\sqrt{52} + \sqrt{17}) / 2$.

Площадь $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{2\sqrt{13}+\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{13}-\sqrt{17}}{2}} = \frac{\sqrt{(52-17) \cdot 17}}{4} = \frac{\sqrt{35 \cdot 17}}{4} = \frac{\sqrt{595}}{4}$.

Это иррациональное число. Так как площадь не является рациональным числом, это доказывает, что невозможно построить такой треугольник, чтобы все три его вершины находились в узлах сетки.

Однако, нарисовать треугольник на клетчатой бумаге все же можно, используя построение с помощью циркуля и линейки (роль которых выполняют отрезки на сетке).

1. Построим одну из сторон. Например, сторону длиной $\sqrt{17}$. Ее можно нарисовать, соединив два узла сетки, например, точки $A(0,0)$ и $B(4,1)$.

2. Две другие стороны должны иметь длину $\sqrt{13}$. Мы можем получить отрезок такой длины, соединив узлы $(0,0)$ и $(2,3)$.

3. Используя циркуль (или просто измерив это расстояние), установим его раствор равным этой длине ($\sqrt{13}$).

4. Проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом $\sqrt{13}$.

5. Проведем вторую дугу окружности с центром в точке $B$ и тем же радиусом $\sqrt{13}$.

6. Точка пересечения этих двух дуг будет третьей вершиной треугольника, $C$.

7. Соединим вершины $A, B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ будет искомым. Вершина $C$ не попадет в узел сетки.

Ответ:Невозможно построить данный треугольник так, чтобы все его вершины находились в узлах сетки. Для его построения нужно использовать метод, аналогичный построению циркулем: нарисовать одну сторону (например, длиной $\sqrt{17}$) между двумя узлами сетки, а затем из ее концов провести дуги радиусом, равным длине другой стороны ($\sqrt{13}$), чтобы найти третью вершину.