Номер 17.10, страница 101 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.10. Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $a$, $b$, и $c$. Пусть $m_a$ — это медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, длина которой равна $a$. Точка $M$ — основание медианы — является серединой стороны $BC$.

Таким образом, мы имеем:

$AB = c$

$AC = b$

$BC = a$

$AM = m_a$

$BM = MC = \frac{a}{2}$

Полупериметр треугольника $p$ определяется как половина суммы длин его сторон:

$p = \frac{a + b + c}{2}$

Для доказательства воспользуемся свойством неравенства треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Применив к нему неравенство треугольника, получим:

$AM < AB + BM$

Подставив обозначения, получаем первое неравенство:

$m_a < c + \frac{a}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $ACM$. Для него также запишем неравенство треугольника:

$AM < AC + CM$

Подставив обозначения, получаем второе неравенство:

$m_a < b + \frac{a}{2}$

Сложим два полученных неравенства:

$m_a + m_a < (c + \frac{a}{2}) + (b + \frac{a}{2})$

$2m_a < b + c + a$

Разделим обе части итогового неравенства на 2:

$m_a < \frac{a + b + c}{2}$

Правая часть этого неравенства является полупериметром треугольника $p$. Таким образом, мы доказали, что $m_a < p$.

Поскольку выбор медианы был произвольным, это доказательство справедливо для любой из трех медиан треугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.