Номер 17.14, страница 101 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.14. Дана прямая $\text{c}$ и две точки $\text{A}$ и $\text{B}$, лежащие от нее по разные стороны (рис. 17.8). Постройте такую точку $\text{C}$ на прямой $\text{c}$, для которой разность расстояний $AC - CB$ наибольшая.

Рис. 17.8

Для решения этой задачи на построение и нахождения экстремума воспользуемся методом осевой симметрии. Нам нужно найти на прямой $c$ такую точку $C$, для которой разность расстояний $AC - CB$ будет наибольшей.

Построим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой $c$. По определению осевой симметрии, прямая $c$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BB'$. Из этого следует, что для любой точки $C$, лежащей на прямой $c$, выполняется равенство $CB = CB'$.

Теперь мы можем заменить в искомой разности $CB$ на $CB'$. Задача сведется к нахождению максимума выражения $AC - CB'$.

Рассмотрим точки $A$, $C$ и $B'$. Они являются вершинами треугольника $ACB'$ (или лежат на одной прямой). Согласно неравенству треугольника, длина одной стороны всегда не превышает суммы длин двух других сторон: $AC \le AB' + CB'$. Преобразуем это неравенство:

$AC - CB' \le AB'$

Это означает, что разность расстояний $AC - CB'$ (а следовательно, и $AC - CB$) не может быть больше, чем длина отрезка $AB'$. Наибольшее значение, равное $AB'$, достигается тогда, когда точки $A$, $B'$ и $C$ лежат на одной прямой, причем точка $B'$ находится между точками $A$ и $C$.

Таким образом, искомая точка $C$ — это точка пересечения прямой, проходящей через $A$ и $B'$, с прямой $c$.

Построение

1. Строим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой $c$. Для этого из точки $B$ опускаем перпендикуляр на прямую $c$, пусть $H$ — его основание. На продолжении этого перпендикуляра за точку $H$ откладываем отрезок $HB'$ такой, что $HB' = BH$.
2. Соединяем точки $A$ и $B'$ прямой линией.
3. Точка пересечения прямой $AB'$ и прямой $c$ и есть искомая точка $C$.

Доказательство

Пусть $C$ — точка, полученная в результате построения. Так как $C$ лежит на прямой $AB'$, причем $B'$ находится между $A$ и $C$ (поскольку $A$ и $B$ лежали по разные стороны от $c$, то $A$ и $B'$ лежат по одну сторону), то $AC = AB' + CB'$. Отсюда $AC - CB' = AB'$. По свойству симметрии $CB = CB'$, значит, $AC - CB = AB'$.

Возьмем любую другую точку $C_1$ на прямой $c$ ($C_1 \ne C$). Точки $A$, $C_1$ и $B'$ образуют треугольник, так как $C_1$ не лежит на прямой $AB'$. Для этого треугольника справедливо строгое неравенство треугольника: $AC_1 < AB' + C_1B'$. Преобразуя, получаем $AC_1 - C_1B' < AB'$. Заменяя $C_1B'$ на равный ему отрезок $C_1B$, имеем: $AC_1 - C_1B < AB'$.

Так как $AC - CB = AB'$ и для любой другой точки $C_1$ на прямой $c$ выполняется $AC_1 - C_1B < AB'$, то построенная точка $C$ действительно обеспечивает наибольшую разность расстояний.

Ответ: Искомая точка $C$ — это точка пересечения прямой $c$ с прямой, проходящей через точку $A$ и точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой $c$.