Номер 17.15, страница 101 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.15. На прямой $\text{c}$ укажите точку $\text{C}$, для которой разность $AC - CB$ наибольшая (рис. 17.9).

Рис. 17.9

Для решения данной задачи воспользуемся неравенством треугольника. Для любых трех точек $A$, $B$ и $C$ на плоскости выполняется соотношение $|AC - CB| \le AB$. Равенство в этом выражении, то есть $|AC - CB| = AB$, достигается только в том случае, когда точка $C$ лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.

Если точка $C$ лежит на прямой $AB$, то возможны два случая для разности $AC - CB$:

• Если точка $B$ лежит между $A$ и $C$, то $AC = AB + CB$, и разность $AC - CB = AB$.
• Если точка $A$ лежит между $C$ и $B$, то $CB = CA + AB$, и разность $AC - CB = -AB$.

Для любой точки $C'$, которая лежит на прямой $c$, но не на прямой $AB$, точки $A$, $B$ и $C'$ образуют треугольник. Для них выполняется строгое неравенство $|AC' - C'B| < AB$, что эквивалентно $-AB < AC' - C'B < AB$.

Таким образом, наибольшее (и наименьшее) значение разности $AC - CB$ для точки $C$ на прямой $c$ достигается в точке пересечения прямой $AB$ и прямой $c$. Именно в этой точке разность будет равна либо $AB$, либо $-AB$, что является экстремальными значениями. Поэтому искомая точка $C$ — это точка пересечения прямой, проходящей через $A$ и $B$, и прямой $c$.

а) Найдем точку $C$ как пересечение прямой $AB$ и прямой $c$.

Введем систему координат, приняв левый нижний узел сетки за начало координат $(0, 0)$, а длину стороны клетки сетки за единицу. В этой системе координат точки $A$ и $B$ имеют координаты: $A(1, 4)$ и $B(3, 1)$. Прямая $c$ является горизонтальной линией, проходящей через $y=2$. Уравнение прямой $c$: $y=2$.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Угловой коэффициент $k$ равен:

$k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - 4}{3 - 1} = -\frac{3}{2}$

Уравнение прямой $AB$ можно записать в виде $y - y_A = k(x - x_A)$:

$y - 4 = -\frac{3}{2}(x - 1)$

Для нахождения координат точки пересечения $C$ решим систему уравнений, состоящую из уравнений прямых $AB$ и $c$:

$\left\{ \begin{array}{l} y = 2 \\ y - 4 = -\frac{3}{2}(x - 1) \end{array} \right.$

Подставим $y=2$ во второе уравнение:

$2 - 4 = -\frac{3}{2}(x - 1)$

$-2 = -\frac{3}{2}(x - 1)$

$4 = 3(x - 1)$

$4 = 3x - 3$

$3x = 7$

$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Таким образом, точка $C$ имеет координаты $(2\frac{1}{3}, 2)$. На рисунке эта точка находится на прямой $c$ на расстоянии $\frac{1}{3}$ длины клетки вправо от третьей вертикальной линии сетки (считая слева).

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения прямой, проходящей через $A$ и $B$, с прямой $c$. Координаты точки $C(2\frac{1}{3}, 2)$ в системе координат, где левый нижний узел сетки - $(0,0)$.

б) Аналогично пункту а), найдем точку $C$ как пересечение прямой $AB$ и прямой $c$.

Используем ту же систему координат. Координаты точек $A$ и $B$: $A(2, 1)$ и $B(3, 4)$. Прямая $c$ проходит через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$. Найдем ее уравнение. Угловой коэффициент $k_c$ равен:

$k_c = \frac{0 - 5}{5 - 0} = -1$

Уравнение прямой $c$: $y - 0 = -1(x - 5)$, что дает $y = -x + 5$ или $x + y = 5$.

Теперь составим уравнение прямой $AB$. Угловой коэффициент $k_{AB}$ равен:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 1}{3 - 2} = \frac{3}{1} = 3$

Уравнение прямой $AB$: $y - y_A = k_{AB}(x - x_A)$

$y - 1 = 3(x - 2)$

$y = 3x - 6 + 1$

$y = 3x - 5$

Для нахождения точки $C$ решим систему уравнений прямых $AB$ и $c$:

$\left\{ \begin{array}{l} y = -x + 5 \\ y = 3x - 5 \end{array} \right.$

Приравняем правые части:

$-x + 5 = 3x - 5$

$10 = 4x$

$x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

Найдем $y$, подставив $x$ в одно из уравнений:

$y = -2.5 + 5 = 2.5$

Координаты точки $C$ равны $(2.5, 2.5)$. На рисунке эта точка находится в центре клетки, ограниченной вертикальными линиями $x=2, x=3$ и горизонтальными линиями $y=2, y=3$.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения прямой, проходящей через $A$ и $B$, с прямой $c$. Координаты точки $C(2.5, 2.5)$ в системе координат, где левый нижний узел сетки - $(0,0)$.