Номер 17.16, страница 102 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.16. Четыре населенных пункта расположены в точках $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$ (рис. 17.10). В каком месте следует построить пекарню, чтобы сумма расстояний от нее до всех четырех данных пунктов была наименьшей?

Рис. 17.10

Пусть M — искомое местоположение пекарни, а A, B, C, D — расположения населенных пунктов. Задача состоит в том, чтобы найти такую точку M на плоскости, для которой сумма расстояний $S = MA + MB + MC + MD$ будет наименьшей.

Для решения этой задачи сгруппируем слагаемые в сумме следующим образом: $S = (MA + MC) + (MB + MD)$.

Рассмотрим сумму расстояний $MA + MC$. Согласно неравенству треугольника, для любых трех точек M, A и C на плоскости выполняется соотношение $MA + MC \ge AC$. Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда точка M лежит на отрезке AC. Если точка М не лежит на отрезке АС, то $MA + MC > AC$.

Аналогично, для точек M, B и D справедливо неравенство $MB + MD \ge BD$. Равенство достигается в том и только в том случае, когда точка M лежит на отрезке BD.

Сложив эти два неравенства, мы получим оценку для искомой суммы расстояний: $S = (MA + MC) + (MB + MD) \ge AC + BD$.

Это означает, что наименьшее возможное значение для суммы расстояний S не может быть меньше, чем $AC + BD$. Это минимальное значение достигается, если выполняются оба равенства одновременно: $MA + MC = AC$ и $MB + MD = BD$. Для этого необходимо, чтобы точка M принадлежала одновременно и отрезку AC, и отрезку BD.

Таким образом, искомая точка M является точкой пересечения отрезков AC и BD. На рисунке видно, что данные четыре точки образуют выпуклый четырехугольник, у которого диагонали (отрезки, соединяющие противолежащие вершины) пересекаются. Именно в этой точке пересечения и будет достигаться минимальная сумма расстояний до всех четырех населенных пунктов.

Ответ: пекарню следует построить в точке пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника, вершинами которого являются данные населенные пункты (например, в точке пересечения отрезков AC и BD, если они являются диагоналями).