Номер 17.9, страница 101 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.9. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины его периметра.

17.9. Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Периметр этого треугольника $P$ вычисляется как сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Нам необходимо доказать, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра. То есть, нужно доказать справедливость следующих трех неравенств:

$a < \frac{P}{2}$

$b < \frac{P}{2}$

$c < \frac{P}{2}$

Для доказательства воспользуемся фундаментальным свойством любого треугольника — неравенством треугольника. Оно утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Запишем неравенство треугольника для каждой из сторон:

1) $b + c > a$

2) $a + c > b$

3) $a + b > c$

Рассмотрим первое неравенство: $b + c > a$.

Прибавим к обеим частям этого неравенства величину $a$:

$a + (b + c) > a + a$

$a + b + c > 2a$

Так как $a + b + c$ — это периметр $P$, мы можем переписать неравенство в виде:

$P > 2a$

Теперь разделим обе части неравенства на 2 (поскольку 2 — положительное число, знак неравенства не меняется):

$\frac{P}{2} > a$, что эквивалентно $a < \frac{P}{2}$.

Таким образом, мы доказали, что сторона $a$ меньше половины периметра.

Проводя абсолютно аналогичные рассуждения для двух других неравенств треугольника, мы получим:

Из $a + c > b$ следует $a + c + b > b + b$, то есть $P > 2b$, откуда $b < \frac{P}{2}$.

Из $a + b > c$ следует $a + b + c > c + c$, то есть $P > 2c$, откуда $c < \frac{P}{2}$.

Следовательно, мы доказали, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра.

Ответ: Утверждение доказано.