Номер 17.2, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.2. Могут ли стороны треугольника относиться как:

а) $1:2:3$;

б) $2:3:6$;

в) $1:1:2$?

Для решения этой задачи необходимо использовать неравенство треугольника. Согласно этому правилу, сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть строго больше длины третьей стороны. Пусть стороны треугольника — $a$, $b$ и $c$. Тогда должны выполняться неравенства: $a + b > c$, $a + c > b$ и $b + c > a$. На практике достаточно проверить выполнение одного условия: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины большей стороны.

а) Рассмотрим соотношение сторон $1 : 2 : 3$. Пусть длины сторон равны $a = k$, $b = 2k$ и $c = 3k$, где $k$ — положительный коэффициент пропорциональности. Две меньшие стороны — это $a$ и $b$, а наибольшая — $c$. Проверим для них неравенство треугольника: $a + b > c$ $k + 2k > 3k$ $3k > 3k$ Это неравенство является ложным, так как $3k$ равно $3k$, но не строго больше. В этом случае все три вершины треугольника лежат на одной прямой, образуя так называемый вырожденный треугольник. Полноценный треугольник с таким соотношением сторон существовать не может.

Ответ: нет, не могут.

б) Рассмотрим соотношение сторон $2 : 3 : 6$. Пусть длины сторон равны $a = 2k$, $b = 3k$ и $c = 6k$, где $k > 0$. Две меньшие стороны — $a$ и $b$, наибольшая — $c$. Проверим неравенство: $a + b > c$ $2k + 3k > 6k$ $5k > 6k$ Поскольку $k$ — положительное число, это неравенство ложно, так как $5$ не больше $6$. Следовательно, треугольник с таким соотношением сторон невозможен.

Ответ: нет, не могут.

в) Рассмотрим соотношение сторон $1 : 1 : 2$. Пусть длины сторон равны $a = k$, $b = k$ и $c = 2k$, где $k > 0$. Две меньшие стороны (в данном случае они равны) — это $a$ и $b$, а наибольшая — $c$. Проверим неравенство: $a + b > c$ $k + k > 2k$ $2k > 2k$ Это неравенство также является ложным. Такой треугольник тоже является вырожденным, его боковые стороны "складываются" на основании.

Ответ: нет, не могут.