Номер 16.35, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

16.35. Изобразите какой-нибудь треугольник. С помощью линейки измерьте его стороны. Верно ли, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон и больше их разности?

Для ответа на этот вопрос проведем практический эксперимент. Изобразим произвольный треугольник, обозначим его вершины как A, B, C, а стороны, лежащие напротив этих вершин, — $a$, $b$ и $c$. С помощью линейки измерим длины сторон. Допустим, у нас получились следующие значения: $a = 4$ см, $b = 7$ см, $c = 9$ см.

Теперь проверим для каждой стороны, верно ли, что она меньше суммы двух других и больше их разности.

Для стороны $a = 4$ см:

Сумма двух других сторон: $b + c = 7 + 9 = 16$ см.

Разность двух других сторон (по модулю): $|b - c| = |7 - 9| = 2$ см.

Сравниваем: $2 \text{ см} < 4 \text{ см} < 16 \text{ см}$. Условие выполняется.

Для стороны $b = 7$ см:

Сумма двух других сторон: $a + c = 4 + 9 = 13$ см.

Разность двух других сторон (по модулю): $|a - c| = |4 - 9| = 5$ см.

Сравниваем: $5 \text{ см} < 7 \text{ см} < 13 \text{ см}$. Условие выполняется.

Для стороны $c = 9$ см:

Сумма двух других сторон: $a + b = 4 + 7 = 11$ см.

Разность двух других сторон (по модулю): $|a - b| = |4 - 7| = 3$ см.

Сравниваем: $3 \text{ см} < 9 \text{ см} < 11 \text{ см}$. Условие выполняется.

Этот эксперимент показывает, что для нашего произвольно взятого треугольника утверждение оказалось верным. На самом деле, это не случайность, а фундаментальное свойство любого треугольника, которое называется неравенством треугольника.

Неравенство треугольника гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Для сторон $a, b, c$ это можно записать в виде системы неравенств:

$a < b + c$

$b < a + c$

$c < a + b$

Из этих же неравенств вытекает и вторая часть утверждения. Например, из $b < a + c$ можно получить $b - c < a$. Из $c < a + b$ можно получить $c - b < a$. Эти два факта означают, что сторона $a$ всегда больше модуля разности сторон $b$ и $c$, то есть $|b-c| < a$.

Таким образом, для любой стороны треугольника, например $a$, всегда справедливо двойное неравенство: $|b - c| < a < b + c$.

Ответ: Да, верно. Каждая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон и больше их разности. Это фундаментальное свойство геометрии, известное как неравенство треугольника.