Номер 16.31, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.31. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Тогда $\angle A$ и $\angle B$ — его острые углы.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для $\triangle ABC$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Так как $\angle C = 90^\circ$, то сумма острых углов составляет: $\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Проведём биссектрисы острых углов $A$ и $B$. Пусть они пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный отрезками этих биссектрис и стороной $AB$.

Поскольку $AO$ и $BO$ являются биссектрисами, они делят углы $A$ и $B$ пополам: $\angle OAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle OBA = \frac{\angle B}{2}$.

Сумма углов в треугольнике $AOB$ равна $180^\circ$: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

Подставим значения углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$: $\angle AOB + \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 180^\circ$.

Вынесем общий множитель за скобки: $\angle AOB + \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^\circ$.

Мы знаем, что сумма острых углов $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Подставим это значение в уравнение: $\angle AOB + \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ$.

$\angle AOB + 45^\circ = 180^\circ$.

Отсюда находим величину угла $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Этот угол $\angle AOB = 135^\circ$ является одним из углов, образованных при пересечении биссектрис. Поскольку он больше $90^\circ$, это тупой угол. При пересечении двух прямых образуются два смежных угла, сумма которых равна $180^\circ$. Искомый острый угол является смежным с углом $\angle AOB$. Найдем его величину: $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Следовательно, острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника всегда равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.