Задания, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно проверьте, что $AB < AC + BC$, $BC < AB + AC$.

Самостоятельно проверьте, что $AC > AB - BC$ и $BC > AC - AB$.

Самостоятельно проверьте, что $AB < AC + BC$, $BC < AB + AC$.

Эти неравенства являются частью неравенства треугольника, которое утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Рассмотрим треугольник с вершинами $A$, $B$ и $C$.

1. Проверка неравенства $AB < AC + BC$:

Длина отрезка $AB$ представляет собой кратчайшее расстояние между точками $A$ и $B$. Путь от точки $A$ до точки $B$ через точку $C$ состоит из двух отрезков, $AC$ и $CB$, и его общая длина равна $AC + BC$. Поскольку прямая линия является кратчайшим путем между двумя точками, путь по прямой $AB$ всегда короче, чем любой обходной путь, в данном случае через точку $C$. Равенство $AB = AC + BC$ достигалось бы только в том случае, если бы точка $C$ лежала на отрезке $AB$, но тогда фигуры $ABC$ не была бы треугольником. Следовательно, для любого треугольника $ABC$ справедливо строгое неравенство: $AB < AC + BC$.

2. Проверка неравенства $BC < AB + AC$:

Аналогично, длина отрезка $BC$ — это кратчайшее расстояние между точками $B$ и $C$. Путь от $B$ до $C$ через точку $A$ имеет длину $BA + AC$, что то же самое, что $AB + AC$. Этот путь длиннее, чем прямой путь $BC$. Поэтому для любого треугольника $ABC$ всегда выполняется неравенство: $BC < AB + AC$.

Таким образом, оба неравенства верны, так как они отражают фундаментальное свойство расстояния в геометрии: кратчайший путь между двумя точками — это прямая.

Ответ: Данные неравенства верны и представляют собой неравенство треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

Самостоятельно проверьте, что $AC > AB - BC$ и $BC > AC - AB$.

Эти неравенства являются следствиями из неравенства треугольника. Мы можем доказать их, используя уже известные неравенства, рассмотренные в предыдущем пункте.

1. Проверка неравенства $AC > AB - BC$:

Воспользуемся одним из неравенств треугольника: $AB < AC + BC$. Это неравенство утверждает, что сторона $AB$ короче суммы двух других сторон. Теперь преобразуем это неравенство, чтобы выразить $AC$. Вычтем $BC$ из обеих частей неравенства:

$AB - BC < AC$

Переписав это выражение, мы получаем требуемое неравенство:

$AC > AB - BC$

Это доказывает, что первая часть утверждения верна.

2. Проверка неравенства $BC > AC - AB$:

Для доказательства второго неравенства воспользуемся другим неравенством треугольника: $AC < AB + BC$. Это неравенство говорит, что сторона $AC$ короче суммы сторон $AB$ и $BC$. Вычтем $AB$ из обеих частей:

$AC - AB < BC$

Переписав это, получаем второе искомое неравенство:

$BC > AC - AB$

Таким образом, оба неравенства являются прямыми алгебраическими следствиями неравенства треугольника. В общем виде это следствие гласит, что любая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон, например, $AC > |AB - BC|$.

Ответ: Данные неравенства верны, так как они выводятся путем простого алгебраического преобразования из основного неравенства треугольника ($AB < AC + BC$ и $AC < AB + BC$ соответственно).