Номер 16.34, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.34. Острый угол $\text{A}$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $30^\circ$. Гипотенуза $AB = 12$ см. Найдите проекцию катета $\text{BC}$ на гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Согласно условию задачи, острый угол $\angle A = 30^\circ$, а длина гипотенузы $AB = 12$ см.

Для того чтобы найти проекцию катета $BC$ на гипотенузу $AB$, необходимо опустить высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Искомая проекция — это длина отрезка $BH$.

Сначала найдем длину катета $BC$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$. Следовательно:

$BC = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Теперь найдем второй острый угол треугольника $ABC$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CHB$. Так как $CH$ — высота, то этот треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$ ($\angle CHB = 90^\circ$). В этом треугольнике $BC$ — гипотенуза, а $BH$ — катет, прилежащий к углу $\angle B$. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle B) = \frac{BH}{BC}$

Отсюда выражаем длину искомой проекции $BH$:

$BH = BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения:

$BH = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.