Вопросы, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В чем заключается неравенство треугольника?

2. Что можно сказать о разности двух сторон треугольника?

3. Что можно сказать о точке C, для которой выполняется равенство $AC + CB = AB$?

1. Неравенство треугольника — это фундаментальное свойство, связывающее длины сторон любого треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Пусть стороны треугольника имеют длины $a$, $b$ и $c$. Тогда для существования такого треугольника должны одновременно выполняться три неравенства:

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Геометрический смысл этого правила заключается в том, что кратчайшее расстояние между двумя точками (вершинами треугольника) — это прямая линия (сторона, соединяющая эти вершины). Любой другой путь между этими точками, проходящий через третью вершину, будет длиннее.

Ответ: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

2. Из неравенства треугольника можно вывести важное следствие, касающееся разности двух его сторон. Разность длин любых двух сторон треугольника всегда меньше длины третьей стороны.

Рассмотрим неравенство $a + b > c$. Если вычесть из обеих частей $b$, получим $a > c - b$. Аналогично из неравенства $a + c > b$ можно получить $a > b - c$. Эти два результата можно объединить в одно неравенство с использованием модуля: $a > |b - c|$.

Таким образом, для любых трех сторон треугольника $a, b, c$ справедливы следующие соотношения:

$a > |b - c|$

$b > |a - c|$

$c > |a - b|$

Это означает, что любая сторона треугольника всегда больше, чем модуль разности двух других его сторон.

Ответ: Разность двух сторон треугольника всегда меньше третьей стороны.

3. Равенство $AC + CB = AB$ представляет собой особый, вырожденный случай неравенства треугольника. Для трех точек $A, B, C$, образующих невырожденный треугольник, всегда справедливо строгое неравенство $AC + CB > AB$.

Когда же это неравенство обращается в равенство, это означает, что точки $A, B$ и $C$ не образуют треугольник, а лежат на одной прямой. Равенство $AC + CB = AB$ выполняется в том и только в том случае, если точка $C$ лежит на отрезке прямой, соединяющем точки $A$ и $B$.

Иными словами, длина ломаной $ACB$ равна длине отрезка $AB$. Это возможно только тогда, когда точка $C$ является внутренней точкой отрезка $AB$.

Ответ: Точка $C$ лежит на отрезке $AB$ (то есть принадлежит отрезку $AB$ и находится между точками $A$ и $B$).