Номер 17.7, страница 100 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.7. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Одна из сторон больше другой в два раза. Найдите длину сторон этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Эти стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр $P$ данного треугольника равен $P = a + a + b = 2a + b$. По условию, $P = 20$ см, значит, $2a + b = 20$.

В условии сказано, что одна из сторон больше другой в два раза. Это может означать два варианта:

1) Основание в два раза больше боковой стороны ($b = 2a$).

2) Боковая сторона в два раза больше основания ($a = 2b$).

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Основание в два раза больше боковой стороны.

Пусть $b = 2a$. Подставим это выражение в формулу периметра:

$2a + 2a = 20$

$4a = 20$

$a = 5$ см.

Тогда основание $b = 2a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Получаем стороны треугольника: 5 см, 5 см и 10 см.

Теперь необходимо проверить, выполняется ли для этих сторон неравенство треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны).

$5 + 5 > 10$

$10 > 10$ — это неверно.

Следовательно, треугольник с такими сторонами не может существовать.

Случай 2: Боковая сторона в два раза больше основания.

Пусть $a = 2b$. Подставим это выражение в формулу периметра:

$2(2b) + b = 20$

$4b + b = 20$

$5b = 20$

$b = 4$ см.

Тогда боковая сторона $a = 2b = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Получаем стороны треугольника: 8 см, 8 см и 4 см.

Проверим неравенство треугольника:

$8 + 8 > 4$ (верно, так как $16 > 4$)

$8 + 4 > 8$ (верно, так как $12 > 8$)

Все условия выполняются, значит, такой треугольник существует.

Ответ: 8 см, 8 см, 4 см.