Номер 17.12, страница 101 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.12. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается.

17.12. Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к стороне $BC$. Требуется доказать, что медиана $AM$ меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$, то есть $AM < \frac{AB + AC}{2}$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. На луче $AM$ отложим за точкой $M$ отрезок $MD$, равный отрезку $AM$. Таким образом, $AD = 2AM$. Соединим точку $D$ с точкой $C$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle DMC$. В этих треугольниках:

• $AM = MD$ по построению.
• $BM = MC$, так как $M$ — середина стороны $BC$.
• $\angle AMB = \angle DMC$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AMB = \triangle DMC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Применим это свойство к стороне $AD$: $AD < AC + DC$

Вспомним наши построения и выводы: $AD = 2AM$ и $DC = AB$. Подставим эти выражения в неравенство: $2AM < AC + AB$

Разделив обе части неравенства на 2, получим то, что и требовалось доказать: $AM < \frac{AC + AB}{2}$

Ответ: Утверждение доказано. Медиана треугольника действительно меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается.