Проверь себя!, страница 102 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько углов образуется при пересечении двух параллельных прямых третьей?

A. 4.

C. 8.

B. 6.

D. 12.

2. Сколько острых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей?

A. 2.

C. 6.

B. 4.

D. 8.

3. Сколько тупых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей?

A. 2.

C. 8

B. 4.

D. 16.

4. Сколько прямых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей?

A. 0.

C. 4.

B. 2.

D. 8.

5. При пересечении двух параллельных прямых третьей один из углов оказался равным $112^\circ$. Найдите наименьший из всех образованных при этом углов:

А. Нельзя определить.

C. $68^\circ$.

B. $34^\circ$.

D. $112^\circ$.

6. Сумма трех внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна $290^\circ$. Найдите четвертый внутренний угол:

A. $145^\circ$.

C. $35^\circ$.

B. $110^\circ$.

D. $70^\circ$.

7. Как расположены относительно друг друга прямые, содержащие биссектрисы внутренних односторонних углов, которые получились при пересечении двух параллельных прямых третьей?

А. Перпендикулярны.

В. Параллельны.

С. Пересекаются под углом $45^\circ$.

D. Пересекаются под углом $60^\circ$.

8. Как расположены относительно друг друга прямые, содержащие биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, которые получились при пересечении двух параллельных прямых третьей?

А. Перпендикулярны.

В. Параллельны.

С. Пересекаются под углом $45^\circ$.

D. Пересекаются под углом $60^\circ$.

9. Найдите углы треугольника, которые относятся как $2:3:4$:

A. $20^\circ, 30^\circ, 40^\circ$.

C. $36^\circ, 54^\circ, 90^\circ$.

B. $40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$.

D. $18^\circ, 27^\circ, 36^\circ$.

10. Определите вид треугольника, если его углы относятся как $1:2:3$:

А. Равнобедренный.

В. Остроугольный.

С. Прямоугольный.

D. Тупоугольный.

11. Определите вид треугольника, если один из его углов больше суммы двух других:

А. Равнобедренный.

В. Остроугольный.

С. Прямоугольный.

D. Тупоугольный.

12. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $1:2$. Найдите больший острый угол:

A. $40^\circ$.

C. $60^\circ$.

B. $50^\circ$.

D. $80^\circ$.

13. В треугольнике $ABC$ угол $\angle A$ равен $50^\circ$, $AC = BC$. Найдите угол $\angle C$:

A. $40^\circ$.

C. $60^\circ$.

B. $50^\circ$.

D. $80^\circ$.

14. В треугольнике $ABC$ угол $\angle C$ равен $100^\circ$, $AC = BC$. Найдите угол $\angle A$:

A. $40^\circ$.

C. $60^\circ$.

B. $50^\circ$.

D. $80^\circ$.

15. Один из углов равнобедренного треугольника равен $90^\circ$. Найдите два других угла:

A. $30^\circ$.

C. $60^\circ$.

B. $45^\circ$.

D. $90^\circ$.

16. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $70^\circ$. Найдите угол между его высотой, проведенной к боковой стороне, и другой боковой стороной:

A. $20^\circ$.

C. $70^\circ$.

B. $50^\circ$.

D. $110^\circ$.

17. Найдите угол между двумя биссектрисами правильного треугольника:

A. $30^\circ$.

C. $60^\circ$.

B. $45^\circ$.

D. $90^\circ$.

18. Два угла треугольника равны $40^\circ$ и $60^\circ$. Найдите острый угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов:

A. $20^\circ$.

C. $80^\circ$.

B. $40^\circ$.

D. $100^\circ$.

19. Один острый угол прямоугольного треугольника равен $40^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла:

A. $5^\circ$.

C. $15^\circ$.

B. $10^\circ$.

D. $20^\circ$.

20. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны 10 см и 5 см:

А. 5 см.

С. 15 см.

В. 10 см.

D. 20 см.

1. При пересечении одной прямой другой образуется 4 угла в точке пересечения. Когда третья прямая пересекает две параллельные прямые, она образует две точки пересечения. В каждой из этих точек образуется по 4 угла. Следовательно, общее количество углов равно $4 + 4 = 8$.

Ответ: C.

2. При пересечении двух параллельных прямых секущей, если секущая не перпендикулярна им, образуются 4 острых и 4 тупых угла. В каждой точке пересечения образуется по 2 острых угла (как вертикальные). Так как точек пересечения две, то общее число острых углов равно $2 + 2 = 4$. Если секущая перпендикулярна параллельным прямым, то все 8 углов прямые, и острых углов нет. Вопрос "сколько может образоваться" подразумевает ненулевой случай.

Ответ: B.

3. Аналогично предыдущему вопросу, при пересечении двух параллельных прямых неперпендикулярной секущей, в каждой из двух точек пересечения образуется по 2 тупых угла. Таким образом, общее количество тупых углов равно $2 + 2 = 4$. Если секущая перпендикулярна, тупых углов не будет.

Ответ: B.

4. Прямые углы (по $90^\circ$) образуются только в том случае, когда секущая перпендикулярна двум параллельным прямым. В этом случае все углы, образованные в обеих точках пересечения, являются прямыми. В каждой точке пересечения 4 угла, всего точек две, значит, общее число прямых углов равно $4 \times 2 = 8$.

Ответ: D.

5. При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются только два вида углов: острые и тупые, которые в сумме дают $180^\circ$ (если секущая не перпендикулярна). Один из углов равен $112^\circ$, это тупой угол. Смежный с ним угол, а также соответственный ему и внутренний односторонний, будет острым. Его величина равна $180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. Это и есть наименьший из образованных углов.

Ответ: C.

6. Всего при пересечении двух параллельных прямых третьей образуется 4 внутренних угла. Сумма двух внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Два других внутренних односторонних угла также в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, сумма всех четырех внутренних углов равна $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. Если сумма трех из них равна $290^\circ$, то четвертый угол равен $360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$.

Ответ: D.

7. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — внутренние односторонние углы. По свойству параллельных прямых, их сумма равна $\alpha + \beta = 180^\circ$. Биссектрисы этих углов образуют с отрезком секущей между параллельными прямыми треугольник. Два угла этого треугольника равны половинам углов $\alpha$ и $\beta$, то есть $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$. Сумма этих двух углов равна $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, третий угол (угол между биссектрисами) равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, прямые, содержащие биссектрисы, перпендикулярны.

Ответ: A.

8. Пусть $\alpha$ и $\alpha'$ — внутренние накрест лежащие углы. По свойству параллельных прямых, они равны: $\alpha = \alpha'$. Биссектрисы делят эти углы пополам. Углы, которые образуют эти биссектрисы с секущей, также являются внутренними накрест лежащими, и они равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\alpha'}{2}$. Так как $\frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha'}{2}$, то по признаку параллельности прямых (равенство внутренних накрест лежащих углов) прямые, содержащие биссектрисы, параллельны.

Ответ: B.

9. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Пусть углы относятся как $2:3:4$. Обозначим их как $2x, 3x$ и $4x$. Тогда их сумма $2x + 3x + 4x = 180^\circ$. Получаем $9x = 180^\circ$, откуда $x = 20^\circ$. Находим углы: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$, $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$, $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$.

Ответ: B.

10. Пусть углы треугольника относятся как $1:2:3$. Обозначим их как $x, 2x$ и $3x$. Их сумма $x + 2x + 3x = 180^\circ$. Получаем $6x = 180^\circ$, откуда $x = 30^\circ$. Углы треугольника равны $30^\circ$, $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ и $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$. Так как один из углов равен $90^\circ$, треугольник является прямоугольным.

Ответ: C.

11. Пусть углы треугольника равны $\alpha, \beta, \gamma$. По условию, один из углов, например $\gamma$, больше суммы двух других: $\gamma > \alpha + \beta$. Мы также знаем, что сумма углов треугольника $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, откуда $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$. Подставим это в неравенство: $\gamma > 180^\circ - \gamma$. Перенеся $\gamma$ в левую часть, получим $2\gamma > 180^\circ$, что означает $\gamma > 90^\circ$. Треугольник, имеющий угол больше $90^\circ$, называется тупоугольным.

Ответ: D.

12. В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма двух других острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Пусть острые углы относятся как $1:2$, то есть равны $x$ и $2x$. Их сумма $x + 2x = 90^\circ$, откуда $3x = 90^\circ$ и $x = 30^\circ$. Острые углы равны $30^\circ$ и $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Больший из них равен $60^\circ$.

Ответ: C.

13. В треугольнике $ABC$ стороны $AC=BC$, значит, он равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle B = \angle A = 50^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Ответ: D.

14. В треугольнике $ABC$ стороны $AC=BC$, значит, он равнобедренный с основанием $AB$. Углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Зная, что $\angle C = 100^\circ$, сумма углов при основании равна $\angle A + \angle B = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Так как $\angle A = \angle B$, то каждый из них равен $80^\circ / 2 = 40^\circ$.

Ответ: A.

15. В равнобедренном треугольнике два угла равны. Если один из углов равен $90^\circ$, возможны два случая. 1) Угол при вершине равен $90^\circ$. Тогда два других угла (при основании) равны и их сумма составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Каждый из них равен $90^\circ/2 = 45^\circ$. 2) Угол при основании равен $90^\circ$. Тогда и второй угол при основании равен $90^\circ$, что невозможно, так как их сумма уже $180^\circ$, не оставляя ничего для третьего угла. Следовательно, два других угла равны $45^\circ$.

Ответ: B.

16. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$, где $\angle A = \angle B = 70^\circ$. Тогда угол при вершине $\angle C = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ$. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$) мы знаем угол $\angle C = 40^\circ$. Угол $\angle HAC$, который нам нужно найти (угол между высотой $AH$ и другой боковой стороной $AC$), равен $180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Ответ: B.

17. Правильный треугольник — это равносторонний треугольник, все углы которого равны $60^\circ$. Биссектрисы двух углов, скажем, при вершинах $A$ и $B$, делят их пополам, создавая углы по $30^\circ$. Эти биссектрисы пересекаются, образуя маленький треугольник с основанием $AB$. Углы этого маленького треугольника при основании равны $30^\circ$ и $30^\circ$. Третий угол, который является углом между биссектрисами, равен $180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$. Угол между прямыми — это обычно наименьший из двух смежных углов, поэтому второй угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: C.

18. Пусть в треугольнике $ABC$ углы $\angle A = 40^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Тогда третий угол $\angle C = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 80^\circ$. Пусть $AH_A$ и $BH_B$ — высоты, проведенные из вершин $A$ и $B$ соответственно, и они пересекаются в точке $O$. Рассмотрим четырехугольник $CH_AOH_B$. В нем углы $\angle CH_AO$ и $\angle CH_BO$ — прямые ($90^\circ$). Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Угол $\angle H_AOH_B$ (который вертикален искомому углу между высотами) равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Это тупой угол между высотами. Острый угол будет смежным с ним и равен $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Ответ: C.

19. Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Один острый угол, например $\angle A = 40^\circ$. Тогда другой острый угол $\angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ и биссектрису $CL$. Биссектриса $CL$ делит прямой угол на два угла по $45^\circ$, т.е. $\angle ACL = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ угол $\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Угол между высотой и биссектрисой $\angle HCL$ равен разности углов $\angle ACH$ и $\angle ACL$. $\angle HCL = |\angle ACH - \angle ACL| = |50^\circ - 45^\circ| = 5^\circ$.

Ответ: A.

20. В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Нам даны длины двух сторон: 10 см и 5 см. Это означает, что третья сторона должна быть равна либо 10 см, либо 5 см. 1. Если третья сторона равна 5 см, то стороны треугольника — 5 см, 5 см, 10 см. Проверим неравенство треугольника: сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей. $5 + 5 = 10$. Это не больше 10. Такой треугольник не существует (он "схлопывается" в отрезок). 2. Если третья сторона равна 10 см, то стороны треугольника — 10 см, 10 см, 5 см. Проверим неравенство треугольника: $10 + 5 > 10$. Это верно. Такой треугольник существует. Следовательно, третья сторона должна быть равна 10 см.

Ответ: B.