Номер 17.13, страница 101 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.13. Дана прямая $\text{c}$ и две точки $\text{A}$ и $\text{B}$, лежащие от нее по одну сторону (рис. 17.7). Постройте такую точку $\text{C}$ на прямой $\text{c}$, для которой разность расстояний $AC - CB$ наибольшая.

Рис. 17.7

17.13. Для решения задачи воспользуемся неравенством треугольника. Пусть $C'$ — произвольная точка на прямой $c$. Точки $A$, $B$ и $C'$ образуют треугольник $ABC'$ (возможно, вырожденный, если точка $C'$ окажется на прямой $AB$).

Согласно неравенству треугольника, для любых трех точек $A, B, C'$ справедливо $|AC' - C'B| \le AB$. Это означает, что разность $AC' - C'B$ не может превышать длину отрезка $AB$. Таким образом, максимальное возможное значение для разности $AC - CB$ равно $AB$.

Это максимальное значение достигается тогда и только тогда, когда точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой (коллинеарны), причём точка $B$ находится между точками $A$ и $C$. В этом случае расстояние $AC$ равно сумме расстояний $AB$ и $CB$, то есть $AC = AB + CB$. Отсюда следует, что разность $AC - CB = (AB + CB) - CB = AB$.

Для любой другой точки $C_{1}$ на прямой $c$, не лежащей на прямой $AB$, точки $A$, $B$ и $C_{1}$ образуют невырожденный треугольник. Для него будет выполняться строгое неравенство $AC_{1} < AB + C_{1}B$, из которого следует $AC_{1} - C_{1}B < AB$.

Следовательно, для нахождения искомой точки $C$ необходимо построить точку, которая одновременно лежит и на прямой $c$, и на прямой $AB$.

Построение:

1. Провести прямую через точки $A$ и $B$.

2. Точка пересечения построенной прямой $AB$ с прямой $c$ и является искомой точкой $C$.

Так как точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от прямой $c$, а точка $C$ лежит на самой прямой $c$, то $C$ не может лежать между $A$ и $B$. Она будет лежать на продолжении отрезка $AB$. Построение, таким образом, однозначно определяет точку $C$, которая и обеспечивает максимальную разность расстояний.

Ответ: Искомая точка $C$ есть точка пересечения прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, с прямой $c$.