Номер 17.8, страница 100 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.8. На прямой $\text{c}$ укажите точку $\text{C}$, для которой сумма расстояний $AC + CB$ наименьшая (рис. 17.6).

Рис. 17.6

Для решения задачи используется основной принцип: кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая. В зависимости от расположения точек A, B и прямой c применяются два подхода.

а) В этом случае точки A и B расположены по одну сторону от прямой c. Чтобы найти точку C на прямой c, для которой сумма расстояний $AC + CB$ будет наименьшей, нужно использовать метод симметричного отражения.

Отразим точку B симметрично относительно прямой c и получим точку B'. Для любой точки C на прямой c, расстояние $CB$ равно расстоянию $CB'$ по свойству осевой симметрии. Таким образом, сумма $AC + CB$ равна сумме $AC + CB'$. Эта сумма будет наименьшей, когда точки A, C и B' лежат на одной прямой, то есть, равна длине отрезка AB'. Следовательно, искомая точка C — это точка пересечения отрезка AB' и прямой c.

На рисунке видно, что точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от прямой c (2 клетки). Из-за этой симметрии, точка C будет расположена на прямой c ровно посередине между проекциями точек A и B на эту прямую. Проекция точки A на прямую c находится над A, проекция B - над B. Расстояние по горизонтали между этими проекциями составляет 3 клетки. Значит, точка C будет находиться на расстоянии $3/2 = 1.5$ клетки от любой из проекций.

Ответ: Искомая точка C находится на прямой c, на середине отрезка, соединяющего проекции точек A и B на прямую c. На рисунке это точка, расположенная между третьей и четвертой вертикальными линиями сетки (считая слева).

б) Здесь, как и в предыдущем случае, точки A и B расположены по одну сторону от прямой c. Применяем тот же метод отражения.

Отразим точку B симметрично относительно прямой c, чтобы получить точку B'. Затем соединим точку A с точкой B' отрезком. Точка пересечения этого отрезка с прямой c и будет искомой точкой C, минимизирующей сумму $AC + CB$.

Введем систему координат, где одна клетка равна единице. Пусть A=(1, 2), B=(4, 1), а прямая c — это $y=3$. Точка B находится на расстоянии $3-1=2$ единицы от прямой c. Ее отражение, точка B', будет находиться на том же расстоянии, но с другой стороны, то есть в точке с координатой $y = 3+2=5$. Координата x не изменится. Таким образом, B'=(4, 5). Найдем точку пересечения C(x, 3) отрезка AB' с прямой $y=3$. Треугольники, образованные точками A, C и их проекциями на вертикальную ось, и точками B', C и их проекциями, подобны. Из подобия следует отношение: $\frac{x-x_A}{y_C-y_A} = \frac{x_{B'}-x}{y_{B'}-y_C}$. Подставим координаты: $\frac{x-1}{3-2} = \frac{4-x}{5-3}$, что дает $\frac{x-1}{1} = \frac{4-x}{2}$. Решая уравнение $2(x-1) = 4-x$, получаем $2x-2 = 4-x$, $3x=6$, $x=2$. Итак, искомая точка C имеет координаты (2, 3).

Ответ: Искомая точка C находится на прямой c в узле сетки с координатами (2, 3), если принять левый нижний угол видимой сетки за (0, 0).

в) В данном случае точки A и B расположены по разные стороны от прямой c. Однако, при внимательном рассмотрении видно, что точка А лежит на самой прямой c.

Мы ищем точку C на прямой c, которая минимизирует сумму $AC + CB$. Поскольку точка C должна лежать на прямой c, мы можем выбрать в качестве C саму точку A (так как A уже лежит на c).

Если мы выберем $C=A$, то сумма расстояний будет равна $AC + CB = AA + AB = 0 + AB = AB$.

Если мы выберем любую другую точку C' на прямой c, то точки A, C', B образуют треугольник. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны: $AC' + C'B > AB$.

Следовательно, наименьшее значение суммы расстояний достигается, когда точка C совпадает с точкой A, и это значение равно длине отрезка AB.

Ответ: Искомая точка C совпадает с точкой A.