Номер 17.5, страница 100 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.5. Группа туристов должна попасть из пункта A в пункт B (рис. 17.5). Из A в B несколько дорог. Какая из них быстрее приведет к цели, если скорость движения по любой из дорог одна и та же. Объясните ответ.

Рис. 17.5

Время движения $t$ связано с пройденным расстоянием $s$ и скоростью движения $v$ формулой $t = s/v$. Поскольку по условию задачи скорость движения $v$ по любой из дорог одна и та же, то время, затраченное на путь, прямо пропорционально пройденному расстоянию $s$. Это означает, что для того, чтобы быстрее всего добраться из пункта А в пункт В, необходимо выбрать самый короткий по длине путь.

Рассмотрим возможные маршруты из пункта А в пункт В на рисунке:

1. Прямой путь по дороге, соединяющей точки А и В. Его длина равна длине отрезка АВ.

2. Любой другой путь, являющийся ломаной линией. Например, путь через точку С (А-С-В) или через точку Е (А-Е-В).

В геометрии известно, что кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки.

Рассмотрим путь через точку С. Точки А, В и С образуют треугольник АВС. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Для нашего случая это означает, что сумма длин отрезков АС и СВ больше длины отрезка АВ: $AC + CB > AB$.

Таким образом, путь А-С-В длиннее прямого пути А-В.

Аналогично, для любого другого маршрута, который не является прямой линией между А и В (например, А-Е-В или А-D-C-B), общая длина пути будет больше, чем длина прямого отрезка АВ.

Следовательно, самый короткий, а значит и самый быстрый путь — это прямая дорога, соединяющая пункты А и В.

Ответ: Самая быстрая дорога — это прямая, соединяющая пункты А и В, поскольку при одинаковой скорости самый быстрый путь является самым коротким, а кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая.