Номер 16.33, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.33. Один острый угол прямоугольного треугольника равен $30^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла (рис. 16.17).

Рис. 16.17

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $ \angle C = 90^\circ $. Пусть один из острых углов, например $ \angle A $, равен $ 30^\circ $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $, поэтому второй острый угол $ \angle B $ вычисляется как:

$ \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $.

Из вершины прямого угла $ C $ проведены высота $ CH $ и биссектриса $ CD $. Требуется найти угол $ \angle HCD $.

Так как $ CD $ является биссектрисой угла $ \angle ACB $, она делит его на два равных угла:

$ \angle ACD = \angle BCD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ ACH $. В нем $ \angle A = 30^\circ $ и $ \angle AHC = 90^\circ $ (по определению высоты). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $ 90^\circ $, следовательно, угол $ \angle ACH $ равен:

$ \angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $.

Искомый угол $ \angle HCD $ можно найти как разность между углами $ \angle ACH $ и $ \angle ACD $. Из рисунка и наших расчетов видно, что луч $CD$ лежит между лучами $CA$ и $CH$.

$ \angle HCD = \angle ACH - \angle ACD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ $.

Можно также провести вычисления, используя другой острый угол. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ BCH $. В нем $ \angle B = 60^\circ $ и $ \angle BHC = 90^\circ $. Угол $ \angle BCH $ равен:

$ \angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $.

Тогда угол $ \angle HCD $ можно найти как разность между углом $ \angle BCD $ и углом $ \angle BCH $:

$ \angle HCD = \angle BCD - \angle BCH = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ $.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ 15^\circ $