Номер 16.27, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.27. В треугольнике $ABC$ $\text{AD}$ — биссектриса, угол $\text{C}$ равен $30^\circ$, угол $BAD$ равен $22^\circ$ (рис. 16.13). Найдите угол $ADB$.

Рис. 16.13

Поскольку AD является биссектрисой угла $ \angle BAC $ в треугольнике $ \triangle ABC $, она делит этот угол на два равных угла: $ \angle BAD $ и $ \angle CAD $.

Согласно условию задачи, $ \angle BAD = 22^\circ $. Из определения биссектрисы следует, что $ \angle CAD $ также равен $ 22^\circ $.

Теперь мы можем найти величину всего угла $ \angle BAC $, сложив две его части:

$ \angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 22^\circ + 22^\circ = 44^\circ $.

Далее рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. Сумма углов в треугольнике всегда равна $ 180^\circ $. Нам известны два угла в этом треугольнике: $ \angle BAC = 44^\circ $ и $ \angle C = 30^\circ $. Найдем третий угол $ \angle B $ (он же $ \angle ABC $):

$ \angle B = 180^\circ - \angle BAC - \angle C = 180^\circ - 44^\circ - 30^\circ = 106^\circ $.

Наконец, рассмотрим треугольник $ \triangle ABD $. Мы ищем угол $ \angle ADB $. Сумма углов в этом треугольнике также равна $ 180^\circ $. Нам известны два угла в $ \triangle ABD $: $ \angle BAD = 22^\circ $ и $ \angle ABD $ (который является углом $ \angle B $ треугольника $ \triangle ABC $) = $ 106^\circ $.

Вычисляем искомый угол $ \angle ADB $:

$ \angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 22^\circ - 106^\circ = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ $.

Ответ: $52^\circ$.