Номер 16.22, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.22. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, параллельна ему (рис. 16.8).

Рис. 16.8

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Обозначим их как $\angle CAB = \angle CBA = \alpha$.

Рассмотрим внешний угол треугольника при вершине $C$. На рисунке он образован стороной $BC$ и лучом $CD$, который является его биссектрисой. Обозначим весь внешний угол как $\angle BCM$, где луч $CM$ является продолжением стороны $AC$. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BCM = \angle CAB + \angle CBA$

Подставив равные значения углов при основании, получим:

$\angle BCM = \alpha + \alpha = 2\alpha$

По условию задачи, луч $CD$ является биссектрисой внешнего угла $\angle BCM$. Это означает, что он делит этот угол на две равные части:

$\angle BCD = \frac{1}{2} \angle BCM = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

Теперь сравним угол $\angle BCD$ и угол $\angle CBA$. Мы установили, что $\angle BCD = \alpha$ и $\angle CBA = \alpha$. Следовательно, $\angle BCD = \angle CBA$.

Углы $\angle BCD$ и $\angle CBA$ являются внутренними накрест лежащими углами для прямых $CD$ и $AB$ и секущей $BC$.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $CD$ параллельна прямой $AB$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что биссектриса внешнего угла при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, параллельна ему.