Номер 16.19, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.19. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен $120^{\circ}$. Найдите острые углы этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник. По определению, один из его внутренних углов равен $90^\circ$. Два других угла являются острыми. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. В условии сказано, что один из внешних углов равен $120^\circ$.

Этот внешний угол не может быть смежным с прямым углом, так как в этом случае его величина была бы $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, что противоречит условию.

Следовательно, внешний угол в $120^\circ$ смежен с одним из острых углов треугольника. Найдем величину этого острого угла. Обозначим его как $\alpha$.

$\alpha + 120^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Итак, один из острых углов прямоугольного треугольника равен $60^\circ$.

Мы знаем, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол, обозначив его как $\beta$.

$\alpha + \beta = 90^\circ$

$60^\circ + \beta = 90^\circ$

$\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Таким образом, острые углы этого треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.