Номер 16.20, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.20. Найдите сумму всех трех внешних углов треугольника по одному при каждой вершине.

Обозначим три внутренних угла треугольника как $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$. Внешний угол треугольника при любой вершине является смежным с внутренним углом при той же вершине. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^{\circ}$.

Пусть $\beta_1$, $\beta_2$ и $\beta_3$ — это внешние углы треугольника, взятые по одному при каждой из трех вершин. Тогда для каждой вершины мы можем записать соотношение между внутренним и внешним углом:

$\beta_1 = 180^{\circ} - \alpha_1$

$\beta_2 = 180^{\circ} - \alpha_2$

$\beta_3 = 180^{\circ} - \alpha_3$

Чтобы найти сумму всех трех внешних углов, необходимо сложить эти три выражения. Обозначим искомую сумму как $S$:

$S = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3 = (180^{\circ} - \alpha_1) + (180^{\circ} - \alpha_2) + (180^{\circ} - \alpha_3)$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении:

$S = (180^{\circ} + 180^{\circ} + 180^{\circ}) - (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$

$S = 540^{\circ} - (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$

Как известно из теоремы о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна $180^{\circ}$:

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^{\circ}$

Теперь подставим это значение в нашу формулу для суммы внешних углов:

$S = 540^{\circ} - 180^{\circ} = 360^{\circ}$

Таким образом, сумма трех внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{\circ}$.

Ответ: $360^{\circ}$