Номер 16.25, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.25. В треугольнике $ABC$ угол $\text{B}$ — тупой, угол $\text{A}$ равен $30^\circ$, $\text{CH}$ — высота, угол $BCH$ равен $22^\circ$ (рис. 16.11). Найдите угол $ACB$.

Рис. 16.11

Поскольку угол $B$ в треугольнике $ABC$ является тупым, высота $CH$, опущенная на прямую, содержащую сторону $AB$, будет лежать вне треугольника. Это означает, что точка $H$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $B$. В результате образуется прямоугольный треугольник $AHC$, в котором $\angle AHC = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла в этом треугольнике: $\angle AHC = 90^\circ$ (так как $CH$ — высота) и $\angle HAC$, который совпадает с углом $A$ треугольника $ABC$ и равен $30^\circ$ по условию. Следовательно, мы можем найти третий угол, $\angle ACH$:

$\angle ACH = 180^\circ - \angle AHC - \angle HAC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Из рисунка и расположения точек $A, B, H$ на одной прямой видно, что угол $\angle ACH$ состоит из двух смежных углов: искомого угла $\angle ACB$ и угла $\angle BCH$. Таким образом, справедливо равенство:

$\angle ACH = \angle ACB + \angle BCH$.

Мы ищем угол $\angle ACB$. Выразим его из полученного равенства:

$\angle ACB = \angle ACH - \angle BCH$.

Подставим известные значения. Мы нашли, что $\angle ACH = 60^\circ$, а по условию задачи $\angle BCH = 22^\circ$.

$\angle ACB = 60^\circ - 22^\circ = 38^\circ$.

Ответ: $38^\circ$.