Номер 16.21, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.21. Докажите, что если один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.

16.21. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABC$, в котором $∠C = 90°$ и, согласно условию, один из острых углов равен $30°$. Пусть $∠A = 30°$. Катет, лежащий напротив этого угла, — это $BC$, а гипотенуза — $AB$. Нам необходимо доказать, что $BC = \frac{1}{2}AB$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. Приложим к треугольнику $ΔABC$ равный ему треугольник $ΔADC$ так, чтобы у них была общая сторона $AC$. В результате этого построения образуется новый треугольник $ΔABD$.

Проанализируем свойства получившегося треугольника $ΔABD$.

1. Поскольку $ΔADC$ равен $ΔABC$ по построению, то их соответствующие стороны и углы равны. В частности, $AD = AB$ и $CD = BC$. Также угол $∠CAD$ равен углу $∠BAC$, то есть $∠CAD = 30°$.

2. Угол $∠BAD$ треугольника $ΔABD$ является суммой углов $∠BAC$ и $∠CAD$. Таким образом, $∠BAD = 30° + 30° = 60°$.

3. Треугольник $ΔABD$ является равнобедренным, так как по построению его стороны $AB$ и $AD$ равны. Угол между этими равными сторонами, $∠BAD$, равен $60°$. Равнобедренный треугольник с углом $60°$ при вершине является равносторонним. Следовательно, все стороны треугольника $ΔABD$ равны: $AB = AD = BD$.

4. Сторона $BD$ равностороннего треугольника $ΔABD$ состоит из двух отрезков: $BC$ и $CD$. Из построения мы знаем, что $CD = BC$. Значит, длину стороны $BD$ можно выразить как $BD = BC + CD = BC + BC = 2BC$.

5. Теперь у нас есть два выражения для длины стороны $BD$: $BD = AB$ (из свойства равностороннего треугольника) и $BD = 2BC$ (из сложения отрезков). Приравнивая их, получаем $AB = 2BC$.

Разделив обе части последнего равенства на 2, мы приходим к выводу, что $BC = \frac{1}{2}AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30°$, равен половине гипотенузы.