Номер 16.16, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.16. В треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) внешний угол при вершине $\text{B}$ равен $138^\circ$ (рис. $16.6$). Найдите угол $\text{C}$.

Рис. $16.6$

По условию, в треугольнике $ABC$ стороны равны, $AB = BC$. Это значит, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол $A$ равен углу $C$: $ \angle A = \angle C $.

Существует два способа решения задачи.

Способ 1:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае, внешний угол при вершине $B$ равен сумме углов $A$ и $C$.

$ \angle A + \angle C = 138^\circ $

Так как $ \angle A = \angle C $, мы можем записать:

$ \angle C + \angle C = 138^\circ $

$ 2 \cdot \angle C = 138^\circ $

$ \angle C = \frac{138^\circ}{2} $

$ \angle C = 69^\circ $

Способ 2:

Внутренний угол $ \angle ABC $ смежен с внешним углом при вершине $B$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Найдем внутренний угол при вершине $B$:

$ \angle ABC = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ $

Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. То есть $ \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^\circ $.

Поскольку $ \angle A = \angle C $, имеем:

$ 2 \cdot \angle C + \angle ABC = 180^\circ $

Подставим найденное значение $ \angle ABC $:

$ 2 \cdot \angle C + 42^\circ = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle C = 180^\circ - 42^\circ $

$ 2 \cdot \angle C = 138^\circ $

$ \angle C = \frac{138^\circ}{2} $

$ \angle C = 69^\circ $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $69^\circ$.