Номер 16.9, страница 93 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.9. Вычислите неизвестные углы на каждом из рисунков (рис. 16.3).

Рис. 16.3

а) В треугольнике $MNK$ стороны $MN$ и $NK$ отмечены одинаковыми штрихами, что означает, что эти стороны равны: $MN = NK$.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, $\triangle MNK$ — равнобедренный с основанием $MK$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании $MK$ — это $\angle M$ и $\angle K$. Значит, $\angle M = \angle K$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle MNK$ это записывается как: $\angle M + \angle N + \angle K = 180^\circ$.

Нам дан угол $\angle N = 65^\circ$. Заменив $\angle M$ на равный ему $\angle K$, получим уравнение:

$\angle K + 65^\circ + \angle K = 180^\circ$

$2 \cdot \angle K + 65^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle K = 180^\circ - 65^\circ$

$2 \cdot \angle K = 115^\circ$

$\angle K = \frac{115^\circ}{2} = 57.5^\circ$

Неизвестный угол равен $57.5^\circ$.

Ответ: $57.5^\circ$.

б) В треугольнике $ABC$ все три стороны, $AB$, $BC$ и $CA$, отмечены одинаковыми штрихами. Это означает, что все стороны треугольника равны: $AB = BC = CA$.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

В равностороннем треугольнике все углы равны. Пусть $\angle A = \angle B = \angle C = x$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$x + x + x = 180^\circ$

$3x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Таким образом, каждый из углов равностороннего треугольника равен $60^\circ$. Неизвестные углы $\angle A$ и $\angle C$ равны $60^\circ$.

Ответ: $\angle A = 60^\circ, \angle C = 60^\circ$.

в) В условии для данного рисунка, скорее всего, допущена опечатка, так как данные на чертеже противоречивы. Если предположить, что на рисунке изображен равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $EG$ и $FG$ и углом при вершине $G$, равным $40^\circ$, то углы при основании $EF$ должны быть равны $\frac{(180^\circ - 40^\circ)}{2} = 70^\circ$. В этом случае внешний угол при вершине $E$ был бы равен $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$, а не $100^\circ$, как указано на рисунке.

Наиболее вероятным является предположение, что в величине внешнего угла допущена опечатка, и он должен быть равен $110^\circ$. Решим задачу при этом условии.

Пусть вершины треугольника — $A$ (слева), $B$ (справа) и $G$ (внизу). Треугольник $AGB$ равнобедренный, так как $AG=BG$ по условию. Угол при вершине $\angle AGB = 40^\circ$.

Пусть внешний угол при вершине $A$ равен $110^\circ$. Тогда внутренний угол $\angle GAB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Так как треугольник $AGB$ равнобедренный с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle GBA = \angle GAB = 70^\circ$.

Проверим сумму углов: $\angle GAB + \angle GBA + \angle AGB = 70^\circ + 70^\circ + 40^\circ = 180^\circ$. Все сходится.

Неизвестный угол, обозначенный знаком вопроса, — это внутренний угол $\angle GBA$.

Следовательно, он равен $70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

г) Рассмотрим треугольник $ABC$. На рисунке показаны два внешних угла треугольника.

Внешний угол при вершине $C$ равен $143^\circ$. Внутренний угол $\angle ACB$ является смежным с ним, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle ACB = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ$.

Внешний угол при вершине $B$ равен $125^\circ$. Внутренний угол $\angle ABC$ является смежным с ним.

$\angle ABC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$ :

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.

Подставим найденные значения углов, чтобы найти неизвестный угол $\angle BAC$ (обозначен знаком вопроса):

$\angle BAC + 55^\circ + 37^\circ = 180^\circ$

$\angle BAC + 92^\circ = 180^\circ$

$\angle BAC = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.

Другой способ:

Используя теорему о внешнем угле треугольника (внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним):

$125^\circ = \angle BAC + \angle ACB$

$143^\circ = \angle BAC + \angle ABC$

Сложим эти два равенства:

$125^\circ + 143^\circ = 2 \cdot \angle BAC + \angle ACB + \angle ABC$

$268^\circ = 2 \cdot \angle BAC + (\angle ACB + \angle ABC)$

Так как $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$, то $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC$.

$268^\circ = 2 \cdot \angle BAC + (180^\circ - \angle BAC)$

$268^\circ = \angle BAC + 180^\circ$

$\angle BAC = 268^\circ - 180^\circ = 88^\circ$.

Ответ: $88^\circ$.