Номер 16.11, страница 93 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.11. В равнобедренном треугольнике один угол на $90^\circ$ меньше другого угла. Найдите больший угол.

Пусть в равнобедренном треугольнике есть два различных по величине угла. Обозначим их как $\alpha$ и $\beta$. В любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^\circ$.

По условию задачи, один угол на $90^\circ$ меньше другого. Предположим, что $\beta$ — это больший угол, а $\alpha$ — меньший. Тогда можно записать соотношение: $\alpha = \beta - 90^\circ$.

Поскольку любой угол в треугольнике должен быть положительным, то $\alpha > 0^\circ$. Из этого следует, что $\beta - 90^\circ > 0$, а значит $\beta > 90^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, какие углы являются углами при основании.

Случай 1: Углы при основании равны меньшему углу $\alpha$.

В этом случае углы треугольника равны $\alpha$, $\alpha$ и $\beta$ (угол при вершине). Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + \beta = 180^\circ$

Теперь подставим в это уравнение известное нам соотношение $\alpha = \beta - 90^\circ$:

$2(\beta - 90^\circ) + \beta = 180^\circ$

$2\beta - 180^\circ + \beta = 180^\circ$

$3\beta = 180^\circ + 180^\circ$

$3\beta = 360^\circ$

$\beta = 120^\circ$

Теперь найдем величину угла $\alpha$:

$\alpha = \beta - 90^\circ = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

Таким образом, углы треугольника равны $30^\circ$, $30^\circ$ и $120^\circ$. Проверим сумму углов: $30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Все условия соблюдены, такой треугольник существует.

Случай 2: Углы при основании равны большему углу $\beta$.

В этом случае углы треугольника равны $\beta$, $\beta$ и $\alpha$ (угол при вершине). Сумма углов:

$\beta + \beta + \alpha = 180^\circ$

$2\beta + \alpha = 180^\circ$

Подставим соотношение $\alpha = \beta - 90^\circ$:

$2\beta + (\beta - 90^\circ) = 180^\circ$

$3\beta - 90^\circ = 180^\circ$

$3\beta = 180^\circ + 90^\circ$

$3\beta = 270^\circ$

$\beta = 90^\circ$

Найдем $\alpha$:

$\alpha = \beta - 90^\circ = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$.

Угол треугольника не может быть равен $0^\circ$, следовательно, этот случай невозможен.

Единственно возможный вариант — это треугольник с углами $30^\circ$, $30^\circ$ и $120^\circ$. В задаче требуется найти больший угол. Сравнивая углы, видим, что больший угол равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.