Номер 16.23, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.23. Найдите сумму острых углов произвольной пятиконечной звездочки (рис. 16.9).

Рис. 16.9

Для нахождения суммы острых углов произвольной пятиконечной звездочки, обозначим углы при ее вершинах как $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4, \angle 5$. Вершины, соответствующие этим углам, назовем $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5$.

Рассмотрим линии, образующие звезду. Пусть точка $A$ является пересечением отрезков $V_1V_4$ и $V_2V_5$, а точка $B$ — пересечением отрезков $V_1V_3$ и $V_2V_5$. Точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой, проходящей через вершины $V_2$ и $V_5$. Вместе с вершиной $V_1$ они образуют треугольник $\triangle V_1AB$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $\triangle V_1AB$ это записывается так:

$\angle AV_1B + \angle V_1BA + \angle V_1AB = 180^\circ$

Теперь проанализируем каждый из этих углов:

1. Угол $\angle AV_1B$ — это угол при вершине $V_1$ звезды, то есть $\angle AV_1B = \angle 1$.

2. Рассмотрим угол $\angle V_1BA$. Этот угол является внешним для треугольника $\triangle V_2V_3B$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Углами этого треугольника являются $\angle 2$ (при вершине $V_2$) и $\angle 3$ (при вершине $V_3$). Таким образом, $\angle V_1BA = \angle 2 + \angle 3$.

3. Аналогично, рассмотрим угол $\angle V_1AB$. Этот угол является внешним для треугольника $\triangle V_4V_5A$. Его величина равна сумме двух внутренних углов этого треугольника, не смежных с ним, то есть углов при вершинах $V_4$ и $V_5$. Таким образом, $\angle V_1AB = \angle 4 + \angle 5$.

Теперь подставим найденные выражения для углов в исходное уравнение для суммы углов треугольника $\triangle V_1AB$:

$\angle 1 + (\angle 2 + \angle 3) + (\angle 4 + \angle 5) = 180^\circ$

Следовательно, сумма всех пяти острых углов звезды равна:

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$

Этот результат не зависит от формы звезды, то есть он верен для любой пятиконечной звездочки.

Ответ: $180^\circ$.