Номер 16.24, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.24. В треугольнике $ABC$ угол $\text{A}$ равен $60^\circ$, угол $\text{B}$ равен $70^\circ$, $\text{CH}$ — высота (рис. 16.10). Найдите разность углов $ACH$ и $BCH$.

Рис. 16.10

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ известны углы $ \angle A = 60^\circ $ и $ \angle B = 70^\circ $. $CH$ является высотой, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$. По определению высоты, $CH$ перпендикулярна $AB$, следовательно, углы $ \angle CHA $ и $ \angle CHB $ являются прямыми: $ \angle CHA = \angle CHB = 90^\circ $.

Высота $CH$ разделяет исходный треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $ \triangle ACH $ и $ \triangle BCH $.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника это означает, что сумма двух острых углов равна $90^\circ$. В $ \triangle ACH $ острыми углами являются $ \angle A $ и $ \angle ACH $.

$ \angle ACH + \angle A = 90^\circ $

Подставим известное значение $ \angle A = 60^\circ $ в это равенство:

$ \angle ACH + 60^\circ = 90^\circ $

Выразим отсюда $ \angle ACH $:

$ \angle ACH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник $BCH$. Аналогично, сумма его острых углов $ \angle B $ и $ \angle BCH $ равна $90^\circ$.

$ \angle BCH + \angle B = 90^\circ $

Подставим известное значение $ \angle B = 70^\circ $:

$ \angle BCH + 70^\circ = 90^\circ $

Выразим отсюда $ \angle BCH $:

$ \angle BCH = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ $

Наконец, найдем разность углов $ \angle ACH $ и $ \angle BCH $, как требуется в условии задачи.

$ \angle ACH - \angle BCH = 30^\circ - 20^\circ = 10^\circ $

Ответ: $10^\circ$